版高考数学文高分计划一轮狂刷练及答案解析第10章概率 103a Word版Word格式文档下载.docx

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”，即P＝＝.故选C.

3．已知实数a满足－3<

a<

4，函数f（x）＝lg（x2＋ax＋1）的值域为R的概率为P1，定义域为R的概率为P2，则（　　）

A．P1>

P2B．P1＝P2

C．P1<

P2D．P1与P2的大小不确定

解析　若f（x）的值域为R，则Δ1＝a2－4≥0，得a≤－2或a≥2.

故P1＝＋＝.

若f（x）的定义域为R，则Δ2＝a2－4<

0，得－2<

2.故P2＝.∴P1<

P2.故选C.

4．（2017·

湖南长沙四县联考）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（　　）

A．1－B.C.D．1－

答案　A

解析　鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－，故选A.

5．（2017·

铁岭模拟）已知△ABC中，∠ABC＝60°

，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为（　　）

解析　如图，当BE＝1时，

∠AEB为直角，则点D在线段BE（不包含B，E点）上时，△ABD为钝角三角形；

当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF（不包含F点）上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.故选C.

6．（2018·

沧州七校联考）用一平面截一半径为5的球面得到一个圆，则此圆面积小于9π的概率是（　　）

解析　如图，此问题属几何概型，球的直径为10，用一平面截该球面，所得的圆面积大于等于9π的概率为P（A）＝＝.

∴所截得圆的面积小于9π的概率为P（）＝1－＝.故选B.

7．（2017·

福建莆田3月质检）从区间（0,1）中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是（　　）

解析　任取的两个数记为x，y，所在区域是正方形OABC内部，而符合题意的x，y位于阴影区域内（不包括x，y轴），故所求概率P＝＝.故选B.

8．（2017·

河南三市联考）在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f（x）＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为（　　）

A．1－B．1－C．1－D．1－

解析　

函数f（x）＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，需Δ＝4a2－4（－b2＋π2）≥0，即a2＋b2≥π2成立．而a，b∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a2＋b2≥π2，点（a，b）如图阴影部分所示，所求事件的概率为P＝＝＝1－.故选B.

9．（2018·

江西模拟）向面积为S的平行四边形ABCD中任投一点M，则△MCD的面积小于的概率为（　　）

解析　设△MCD的高为ME，ME的反向延长线交AB于F，当“△MCD的面积等于”时，CD·

ME＝CD·

EF，即ME＝EF，过M作GH∥AB，则满足△MCD的面积小于的点M在▱CDGH中，由几何概型的概率公式得到△MCD的面积小于的概率为＝.故选C.

10．（2015·

湖北高考）在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则（　　）

A．p1<

p2<

B．p2<

<

p1

C.<

p1D．p1<

p2

答案　D

解析　（x，y）构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x＋y≤的区域如图1中阴影部分所示，所以p1＝＝，满足xy≤的区域如图2中阴影部分所示，所以p2＝＝>

，所以p1<

p2，故选D.

二、填空题

11.

如图所示，在△ABC中，∠B＝60°

，∠C＝45°

，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<

1的概率是________．

答案　

解析　∠B＝60°

，所以∠BAC＝75°

.

在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°

，

BD＝＝1，∠BAD＝30°

记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<

1”，则可得∠BAM<

∠BAD时事件N发生．

由几何概型的概率公式，得P（N）＝＝.

12．一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5米、4米、3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器（大小忽略不计），可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．

解析　依题意，放在地面一角处的捕蝇器能捕捉到的空间体积V0＝×

×

13＝（立方米），

又空屋子的体积V＝5×

4×

3＝60（立方米），

三个捕蝇器捕捉到的空间体积V′＝3V0＝（立方米）．

故苍蝇被捕捉的概率是＝.

13．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；

若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；

否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．

解析　记“小波周末去看电影”为事件A，则P（A）＝1－＝，记“小波周末去打篮球”为事件B，则P（B）＝＝，点到圆心的距离大于与点到圆心的距离小于不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，则小波周末不在家看书为事件A∪B，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝.

14．（2018·

河南洛阳模拟）已知O（0,0），A（2,1），B（1，－2），C，动点P（x，y）满足0≤·

≤2且0≤·

≤2，则点P到点C的距离大于的概率为________．

答案　1－

解析　∵O（0,0），A（2,1），B（1，－2），C，

动点P（x，y）满足0≤·

≤2，

∴

如图，不等式组对应的平面区域为正方形OEFG及其内部，|CP|>

对应的平面区域为阴影部分．

由解得即E，

∴|OE|＝＝，

∴正方形OEFG的面积为，则阴影部分的面积为－，

∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为＝1－.

三、解答题

15．（2018·

广东深圳模拟）已知复数z＝x＋yi（x，y∈R）在复平面上对应的点为M.

（1）设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；

（2）设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：

所表示的平面区域内的概率．

解　

（1）记“复数z为纯虚数”为事件A.

∵组成复数z的所有情况共有12个：

－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，

且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，

其中事件A包含的基本事件共2个：

i,2i，

∴所求事件的概率为P（A）＝＝.

（2）依条件可知，点M均匀地分布在平面区域（x，y）内，属于几何概型．该平面区域的图形为图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×

4＝12.

而所求事件构成的平面区域为

，其图形如图中的三角形OAD（阴影部分）．又直线x＋2y－3＝0与x轴，y轴的交点分别为A（3,0），D，

∴三角形OAD的面积为S1＝×

3×

＝.

∴所求事件的概率为P＝＝＝.

16．设f（x）和g（x）都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[1,2]，都有|f（x）＋g（x）|≤8，则称f（x）和g（x）是“友好函数”，设f（x）＝ax，g（x）＝.

（1）若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f（x）和g（x）是“友好函数”的概率；

（2）若a∈[1,4]，b∈[1,4]，求f（x）和g（x）是“友好函数”的概率．

解　

（1）设事件A表示f（x）和g（x）是“友好函数”，

则|f（x）＋g（x）|（x∈[1,2]）所有的情况有

x－，x＋，x＋，4x－，4x＋，4x＋，

共6种且每种情况被取到的可能性相同．

又当a>

0，b>

0时ax＋在上递减，在上递增；

x－和4x－在（0，＋∞）上递增，

∴对x∈[1,2]可使|f（x）＋g（x）|≤8恒成立的有x－，x＋，x＋，4x－，

故事件A包含的基本事件有4种，

∴P（A）＝＝，故所求概率是.

（2）设事件B表示f（x）和g（x）是“友好函数”，∵a是从区间[1,4]中任取的数，b是从区间[1,4]中任取的数，∴点（a，b）所在区域是长为3，宽为3的正方形区域．

要使x∈[1,2]时，|f（x）＋g（x）|≤8恒成立，需f

（1）＋g

（1）＝a＋b≤8且f

（2）＋g

（2）＝2a＋≤8，

∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．

∴P（B）＝＝，

故所求的概率是.