20VAR模型2.docx

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20VAR模型2

8.3VAR模型中协整向量的估计与检验

8.3.1VAR模型中协整向量的估计

此估计方法由Johansen提出。

假定条件是，ut~IID（0,）。

实际中这个条件比较容易满足。

当ut中存在自相关时，只要在VAR模型中适当增加内生变量的滞后阶数，就能达到ut非自相关的要求。

此估计方法为极大似然估计法。

给定VAR模型

Yt=1Yt-1+2Yt-1+…+kYt-k+Dt+ut,ut~IID（0,）（8.60）

其中Yt是N´1阶列向量。

Dt表示d´1阶确定项向量（d表示确定性变量个数）。

用来描述常数项、时间趋势项t、季节虚拟变量（如果需要）和其他一些有必要设置的虚拟变量。

是确定性变量Dt的N´d阶系数矩阵。

其中每一行对应VAR模型中的一个方程。

上式的向量误差修正模型形式（推导过程见8.1.6节）是

Yt=Yt-1+1Yt-1+2Yt-2+…+k-1Yt-（k-1）+Dt+ut（8.61）

其中

j=

j=1,2,…,k-1，

=0-I=

-I=1+2+…+k-I，

正确地估计协整参数矩阵的秩r非常重要。

若r被正确估计，则所有误差修正项都是平稳的。

那么模型（8.61）中的所有项都是平稳的。

参数估计量具有一致性。

任何高估或低估r值都会给参数估计与推断带来错误。

当低估r值时，将导致把余下的误差修正项并入模型的随机误差项Ut。

而高估r值将会把非协整向量带入协整参数矩阵中。

N´1阶的Yt-k将由I（0）项（协整向量与变量的积）和I

（1）项（非协整向量与变量的积）混合而成，从而导致回归参数估计量及其相应统计量的非正态性分布。

当用t检验临界值进行显著性检验时就会得出错误结论。

估计的第一步是用样本数据Yt,（t=-k+1,-k+2,…,0,1,2,…,T）确定协整参数矩阵的秩r。

对于任何r£N情形，模型（8.61）的零假设是

H0:

rk（）r或='（8.62）

其中和是N´r阶矩阵。

注意，这一步只能估计r（协整向量个数），无法估计和，因为对VAR模型（8.61）来说，和是“过多参数（over-parameterization）”的，无法与r同时估计。

接下来构造协整检验统计量LR，估计协整向量个数r，进而估计和。

把模型（8.61）看作数据生成系统，且0

logL（1,…,k-1,,|Y1,…,YT）=-

log

（2）-

log||-

（8.63）

利用上式求关于的集中对数似然函数（concentratedloglikelihoodfunction，见《计量经济分析》第274-277页），即把看作是给定值条件下的对数似然函数。

logL（1,…,k-1,|Y1,…,YT）=C0-

log|

|（8.64）

其中

=

为便于书写，给出如下符号，

Z0t=Yt

Z1t=Yt-1

Z2t=（Yt-1,Yt-2,…,Yt-（k-1）,Dt）'

=（1,2,…,k-1,）'

其中Z0t和Z1t是N´1阶的，列向量Z2t是[N（k-1）+d]´1阶的，是N´[N（k-1）+d]阶的。

则（8.61）式

Yt=Yt-1+1Yt-1+2Yt-2+…+k-1Yt-（k-1）+Dt+ut（8.61）

改写为，

Z0t=Z1t+Z2t+ut（8.65）

对集中对数似然函数（8.64）求极大，就是对

求极小。

则估计的OLS正规方程是

Z0t-Z1t-

Z2t）Z2t'=0[对照

（x2t）=0]

其中

是对（8.65）式中的估计。

破括号、移项上式变为，

Z0tZ2t'）=

Z1tZ2t'）+

Z2tZ2t'）

则

=

Z0tZ2t'）（

Z2tZ2t'）-1-

Z1tZ2t'）[

Z2tZ2t']-1（8.66）

用

的表达式代替（8.65）式中并整理，

=Z0t-Z1t–

Z0tZ2t'）（

Z2tZ2t'）-1Z2t+

Z1tZ2t'）（

Z2tZ2t'）-1Z2t

=Z0t-

Z0tZ2t'）（

Z2tZ2t'）-1Z2t–[Z1t–

Z1tZ2t'）（

Z2tZ2t'）-1Z2t]

（8.67）

现在考虑如下回归（目的是把上式表达为以为参数的回归式），

Z0t=Z2t+u0t（8.68）

则的OLS估计量

=

Z0tZ2t'）（

Z2tZ2t'）-1（8.69）

若u0t的估计量用R0t表示，则

R0t=Z0t-

Z0tZ2t'）（

Z2tZ2t'）-1Z2t（8.70）

考虑如下回归，

Z1t=Z2t+u1t（8.71）

则的OLS估计量

=

Z1tZ2t'）（

Z2tZ2t'）-1（8.72）

若u1t的估计量用R1t表示，则

R1t=Z1t-

Z1tZ2t'）（

Z2tZ2t'）-1Z2t（8.73）

比较（8.67），（8.70）和（8.73）式。

=Z0t-

Z0tZ2t'）（

Z2tZ2t'）-1Z2t–[Z1t–

Z1tZ2t']（

Z2tZ2t'）-1Z2t]（8.67）

R0t=Z0t-

Z0tZ2t'）（

Z2tZ2t'）-1Z2t（8.70）

（8.70）式等号右侧两项是（8.67）式等号右侧第1，2项。

（8.73）式等号右侧两项是（8.67）式等号右侧第3项中括号内部分。

用R0t和R1t分别代替（8.67）式中相应部分，

=R0t-R1t

整理上式，

R0t=R1t+

（8.74）

上式表示残差R0t对R1t回归。

R0t和R1t分别表示Z0t,Z1t在排除Z2t影响以后的残差（见（8.68）和（8.71）式）。

比较（8.74）和（8.65）式，

Z0t=Z1t+Z2t+ut（8.65）

（8.74）式是排除Z2t影响以后的回归式。

因为对数似然函数对是非约束的，所以可先排除Z2t的影响，进一步求R0t和R1t的关于Z2t的集中对数似然函数log（）。

（把Z2t当作给定值的似然函数）

logL（）=C0-

logêT-1

-R1t）（R0t-R1t）'ê（8.75）

其中C0是常量。

如果是非约束的，则很容易计算的估计值。

现在感兴趣的是在施加='约束条件下求（8.61）式中的估计量。

把约束条件='代入上式和（8.74）式，

LogL（,）=C0-

log|T-1

-'R1t）（R0t-'R1t）'|（8.76）

R0t='R1t+

（8.77）

先设定不变，通过R0t对'R1t回归估计

，从而进一步求关于

的集中对数似然函数。

的OLS计算公式是，

=

=

（8.78）

定义残差R0t和Rkt的积矩量矩阵Sij如下，

Sij=T-1

i,j=0,1,（8.79）

则（8.78）式表达为，

=S01（'S11）-1（8.80）

用

代替（8.76）式中的，得

=

'R1t

的估计量，（8.76）式中绝对值部分，|T-1

-'R1t）（R0t-'R1t）'|，的估计量表达为

|

|=|T-1

-

'R1t）（R0t-

'R1t）'|

=|T-1

R0t'-

'R1tR0t'-R0tR1t'

'+

'R1tR1t'

'）'|

=|S00-

'S10-S01

'+

'S11

'|（8.81）

用

的表达式（8.80）代换（8.81）式中的，得

|

|=|S00-S01（'S11）-1'S10|（8.82）

对集中对数似然函数（8.76）求极大，即对上式求极小。

这种极小化是通过对N´r阶矩阵的取值来实现的。

依据拉奥（Rao,1973），对于矩阵A,B,C有如下关系存在。

=|A||C-B'A-1B|=|C||A-BC-1B'|（8.83）

移项

|A-BC-1B'|=|C|-1|A||C-B'A-1B|

令A=S00,B=S01,C='S11,于是有

|

|=|S00-S01（'S11）-1'S10|

=|'S11|-1|S00||'S11-'S10S00-1S01|

=|'S11|-1|S00||'（S11–S10S00-1S01）|（8.84）

因为|S00|是常量，所以对关于的对数似然函数（8.76）求极大即是对|'S11|-1|'（S11–S10S00-1S01）|求极小（忽略S00）。

把上述求极小问题再转化为设定'S11=I条件下，通过对|'（S11–S10S00-1S01）|的极小化求的极大似然估计量。

根据典型相关理论，上述求极小问题可以转化为求广义特征值问题，

|S11–S10S00-1S01|=0,（8.85）

其中是关于S11的S10S00-1S01的特征值。

相应特征向量vi,i=1,…,r则构成，即=（v1v2…vr）（其中vi与r个最大的特征值相对应，而r值则由假设检验（8.62）确定。

）

求出的极大似然估计量

后，其他参数的极大似然估计量都可求出。

利用约束条件'S11=I，由（8.80）式得，

=S01

（8.86）

=

'（8.87）

由（8.82）式得，

=S00-S01

（

'S11

）-1

'S10=S00-S