高考数列大题综合含详细答案部分.docx
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高考数列大题综合含详细答案部分
数列高考大题专题（理科）
（2012江苏）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：
N．
anbn
an1，n
n122
anbn
解：
（1）
bn
由①②得：
q1
*
∴ana1nN
1an1
anbnan2bn2
得：
a1
a112bnn2，且1a12
∴bn
a1
a122a12
a121
∵bn12bn2bn，nN
ana1
∴数列bn是公比为2的等比数列a1
∵1a12
∴21
a1
①当21时
a1
aa22a2数列bn是单调递增的数列，这与bna1a122a1矛盾a11
②当21时a1
数列bn是常数数列，符合题意
∴a12
∴bn2
∴b12
2010江苏）19.（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知2a2a1a3，数列Sn是公差为d的等差数列.
（1）求数列an的通项公式（用n,d表示）
2）设c为实数，对满足mn3k且mn的任意正整数m,n,k，不等式
9
SmSn
cSk都成立，求证：
c的最大值为.
2
（2011高考）（本小题满分12分）
等比数列an的各项均为正数，且2a13a21,a329a2a6.
1.求数列an的通项公式.
12.设bnlog3a1log3a2log3an,求数列的前项和.
bn
解：
（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a329a2a6得a339a42所以q21。
有条件326349
1可知a>0,故q1。
311由2a13a21得2a13a2q1，所以a11。
故数列{an}的通项式为an=1n。
33
（Ⅱ）bnlog1a1log1a1...log1a1
（12...n）
n（n1）
2
1211故2（）bnn（n1）nn1
（辽宁理17）
已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10（I）求数列{an}的通项公式；
an
n1
II）求数列2的前n项和．
解：
（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得
a1
2a1
d0,
12d
10,
a11,解得d1.
故数列{an}的通项公式为an
2n.
II
）设数列
an1}的前n项和为Sn
{2n
即Sn
a1
a2
2ann1,故S11，
Sn
2
a1
2
a2
4L
an
2n
所以，当
1时，
Sn
2
a1
a2
1
（12
（1
a1
2
1
4
1
2n1
anan1
2n1
12
n1n2n12n
2n
2n
an
2n
n
）
n
2n
所以Sn
n
2n1.
综上，数列{2ann1}的前n项和Sn
（天津理20）
n
2n1.
12分
已知数列{an}与{bn}满足：
bnanan1
bn
1an20,bn3
（1）n
2
N，且
a12,a24
Ⅰ）求a3,a4,a5的值；
Ⅱ）设cna2n1a2n1,nN，证明：
cn是等比数列；
3
（1）n*
bn,nN*,
I）解：
由
n2
1,n为奇数
bn
可得
2,n为偶数
bnan
bn1an2
0,
当n=1时,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a33;当n=2时,2a2+a3+a4=0,可得a45;
当n=3时,a3+a4+2a5=0,可得a44.
II）证明：
对任意n
a2n1
a2n2a2n1
0,
2a2n
a2n1
a2n2
0,
a2n1
a2n2
2a2n
30,
②—③，得
a2n
a2n3.
将④代入①，
可得
a2n1
即cn1
cn（nN
*
*）
又c1
a1a3
1,故cn
N,
①
②
③
④
a2n3（a2n1a2n1）
0,
n11,所以{cn}因此cn是等比数列.
3.（17）（本小题满分12分）设数列an满足a12,an1an3g22n1
（1）求数列an的通项公式；
（2）令bnnan，求数列的前n项和Sn
（17）解：
（Ⅰ）由已知，当n≥1时，
an1［（an1an）（anan1）L（a2a1）］a1
3（22n1
22n3
2）2
2（n1）1
2。
而a12,
所以数列{an}的通项公式为an22n1。
（Ⅱ）由bnnann22n1知
Sn12223325Ln22n1①
从而
22Sn123225327Ln22n1②①-②得
（122）Sn22325L22n1n22n1
即Sn1[（3n1）22n12]
17．（本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an（n∈N+）
（1）证明：
数列{an+1-an}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式
1）证明：
Qan23an12an,
an2an12（an1an）,
Qa11,a23,
n2n12（nN*）.
an1an
an1an是以a2a12为首项，2为公比的等比数列2）解：
由
（1）得an1an2（nN）,[来源:
学科网]
an（anan1）（an1an2）..
.（a2a1）a1
2n12n2...21
2n1（nN*）.
17．（本小题满分12分）
4an3n1，nN
在数列an中，a12，an1
1）证明数列ann是等比数列；
2）设数列an的前n项和Sn，求Sn14Sn的最大值。
17.证明：
（Ⅰ）由题设an又a111，所以数列（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an
数列an的前n项和Sn
Sn14Sn
4n11
3
（n
14an3n1，得an1（n1）4（ann），nN*．ann是首项为1，且公比为4的等比数列．
n4n1，于是数列
4n1n（n1）
3
1）（n2）
2
2
44n1
3
故n=1，最大0.
.（2011·东莞期末）（本小题满分14分）已知数列an的各项满足：
a113k
12（3n2
n4）
（1）判断数列{an
2）求数列a
n1
an的通项公式为an4n1n．所以
n（n1）
2
（kR），
n1
an43an1.
解：
（1）an1
4n1
7
a1
当k
当k
4}是否成等比数列；
7
的通项公式；
4n
3an
3（an
4
7
1
7
17时，
3k
时，
a1
a1
2）由
（1）可知当
4
7
4
7
4
7
1
7
an
当k
3
（73k）
17时，an
所以，
数列a
（2011·佛山一检）已知正项等差数列
本题满分
4n1
7
47n），
33k
7
3an
4n
0，则数列{
an
0，则数列{an
时，
3）n1
4n，
7，
4n
an
7
4n．
7
也符合上式，
n
4}不是等比数列；
7
4n
}是公比为
7
（37
3
的通项公式为an（3
14分）
an的前n项和为Sn，若S3
3k）
3k）
12，
3的等比数列．
（3）n1
（3）n1
4n
7
且2a1,a2,a31成等比
数列.
的通项公式；
bn
a3nn的前n项和为Tn
求Tn.
解：
（Ⅰ
S312，即a1
a2
a3
12
∴3a2
12
，所以a2
4，
又∵2a1，a2，a31成等比数列，
a22a1（a31）
2
a2
2（a2
d）
（a2d
1）
4
解得，d3或d4（舍去）
a1a2d1
an
3n2
Ⅱ）法
1：
bn
∴Tn1
1得，得，
3
②得，
1
3
13Tn
23Tn
an
3nn
1
32
Tn
1
3n2
1
32
1
3
3n
法2：
bn
设An1
an
3nn
1
3
则1An
3
①②得，
7
3n2
3n
1
33
（3n
2）
（3n
2）
1
3n
1
3n
14
3n
2
3n
1
2
32
1
32
2
23An1
1
33
3123
312（1
1
34
（3n
5）
1
33
1
3n1
1
3
1
3n
5
4分13n1
1
33
1
33
11
332
1
34
1
33
1
34
33n
1
3n（3n
1
（3n
（3n
2）
3n
51
62
2）
2）
1
3n1
1
3n1
3n11（3n
2）
1
3n1
6n
4
1
3n
1
3n
1
3n1
1
3n
1
3n
1
3n
∴An4
（94
∴Tn
An
131n
11
33n）1n，2n）3n，213（123
133
3n2（2n）
1
3n
3n）
11
3
9（93n）
442
3n（1
56n51
443n
9.（2011·三明三校一月联考）
本小题满分12分）已知等差数列an和正项等
比数列bn，a1b11，a3
a710，b3＝a4
1）求数列an、bn的通项公式
解
（1）依题意，
2）若cnan?
bn，求数列cn的前n项和Tn.
an为等差数列，设其公差为d；bn为正项等比数列，
n1n1
∴bnb1q2
an
6分
bn2n1
2）∵cnanbn＝n2n1
9分
以上两式相减，得－Tn＝2021222n1n2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
Tn
（n1）2n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
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