高考数学第二轮复习 解析几何教学案.docx

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高考数学第二轮复习解析几何教学案

2021年高考数学第二轮复习解析几何教学案

第1课时直线与圆

考纲指要：

直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，以及直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题。

圆的方程，从轨迹角度讲，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。

能借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，特别是弦长问题。

考点扫描：

1．直线方程：

（1）倾斜角；

（2）斜率；（3）直线方程的五种形式。

2．圆的方程：

（1）圆的标准方程；

（2）圆的一般方程。

3.两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

4.根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

考题先知：

例1．某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为（90°≤＜180°）镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距am,bm,（a＞b）问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？

分析欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值

解建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C（x,0）（x＞0）,欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值

由三角函数的定义知A、B两点坐标分别为（acos,asin）、

（bcos,bsin）,于是直线AC、BC的斜率分别为

kAC=tanXCA=,

于是

tanACB=

由于∠ACB为锐角，且x＞0,则tanACB≤,

当且仅当=x，即x=时，等号成立，

此时∠ACB取最大值，对应的点为C（,0）,

因此，学生距离镜框下缘cm处时，视角最大，即看画效果最佳

点评：

解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值如果坐标系选择不当，或选择求sinACB的最大值都将使问题变得复杂起来

例2．设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线

分析：

将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系

解法一设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（x,y）（x≠0）

直线AB的方程为x=my+a

由OM⊥AB，得m=－

由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0

所以y1y2=－4pa,x1x2=

所以，由OA⊥OB，得x1x2=－y1y2

所以

故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0（x≠0）

故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0（x≠0），它表示以（2p,0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点

解法二设OA的方程为，代入y2=4px得

则OB的方程为，代入y2=4px得

∴AB的方程为，过定点，

由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）

故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0（x≠0），它表示以（2p,0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点

解法三设M（x,y）（x≠0），OA的方程为，

代入y2=4px得

则OB的方程为，代入y2=4px得

由OM⊥AB，得

M既在以OA为直径的圆……①上，

又在以OB为直径的圆……②上（O点除外），

①+②得x2+y2－4px=0（x≠0）

故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0（x≠0），它表示以（2p,0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点

点评：

本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程当设A、B两点的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）时，注意对“x1=x2”的讨论

复习智略：

例3抛物线有光学性质由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px（p＞0）一光源在点M（,4）处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l2x－4y－17=0上的点N，再折射后又射回点M（如下图所示）

（1）设P、Q两点坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2），证明y1·y2=－p2；

（2）求抛物线的方程；

（3）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？

若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由

分析：

本题考查学生对韦达定理、点关于直线对称、直线关于直线对称、直线的点斜式方程、两点式方程等知识的掌握程度

解：

（1）证明由抛物线的光学性质及题意知

光线PQ必过抛物线的焦点F（，0），

设直线PQ的方程为y=k（x－）①

由①式得x=y+,将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2－y－p2=0,由韦达定理，y1y2=－p2

当直线PQ的斜率角为90°时，将x=代入抛物线方程，得y=±p,同样得到y1·y2=－p2

（2）解因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M（，4）关于l的对称点为M′（x′,y′），则

解得

直线QN的方程为y=－1,Q点的纵坐标y2=－1，

由题设P点的纵坐标y1=4，且由

（1）知y1·y2=－p2,则4·（－1）=－p2,

得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x

（3）解将y=4代入y2=4x,得x=4，故P点坐标为（4，4）

将y=－1代入直线l的方程为2x－4y－17=0,得x=,

故N点坐标为（，－1）

由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y－12=0,

设M点关于直线NP的对称点M1（x1,y1）

又M1（,－1）的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点（，－1）与点M关于直线PN对称。

点评：

在证明第

（1）问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时点关于直线对称是解决第

（2）、第（3）问的关键。

检测评估：

1.若直线按向量平移后与圆相切，则的值为（）

A．或B．或C．或D．或

2.如右图,定圆半径为，圆心为（）,则直线

与直线的交点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）

A．95B．91C．88D．75

4.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）

A．B．C．D．

5.直线x+y－2=0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为（）

A．B．C．D．

6.若圆上至少有三个不同点到直线:

的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是.

7．过点交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB

最小时，直线l的方程为.

8．高为5m和3m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A（－5，0）、B（5，0），则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________

9、在等差数列中，为首项，是其前项的和，将整理为

后可知：

点（是正整数）

都在直线上，类似地，若是首项为，公比为的等比数列，

则点（是正整数）在直线________上

10.实数满足，且，，那么的最小值为　　　;

11设数列{an}的前n项和Sn=na+n（n－1）b，（n=1,2,…）,a、b是常数且b≠0

（1）证明{an}是等差数列

（2）证明以（an,－1）为坐标的点Pn（n=1,2,…）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程

（3）设a=1,b=,C是以（r,r）为圆心，r为半径的圆（r＞0），求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围

12．某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱，检测一个直径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

点拨与全解：

1.因平移后的直线，即，由圆心到直线之距公式得得，选A。

2．从图知，且，两直线交点为，选C。

3.解：

由y=10－x（0≤x≤15，x∈N）转化为求满足不等式y≤10－x（0≤x≤15，x∈N）所有整数y的值.然后再求其总数.令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：

x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个整点.故选B。

4.解:

与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在（1，1）处导数为4，此点的切线为，故选A。

5.解析：

如图所示：

由

消y得：

x2－3x+2=0，∴x1=2，x2=1。

∴A（2，0），B（1，）

∴|AB|==2

又|OB|＝|OA|=2，

∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=，故选C。

6.解：

圆方程化为，所以由得

所以直线的倾斜角的取值范围是。

7．解：

可证当CM⊥AB时，∠ACB最小，从而直线方程，即

8解析设P（x,y），依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0

9．由等比数列的求和公式得，所以在直线上。

10.解：

M表示定点（-1，-3）与圆周上的点连线的斜率，设连线方程为，当时，即时有最小值。

11

（1）证明由条件，得a1=S1=a,当n≥2时，

有an=Sn－Sn－1=［na+n（n－1）b］－［（n－1）a+（n－1）（n－2）b］=a+2（n－1）b

因此，当n≥2时，有an－an－1=［a+2（n－1）b］－［a+2（n－2）b］=2b

所以{an}是以a为首项，2b为公差的等差数列

（2）证明∵b≠0,对于n≥2,有

∴所有的点Pn（an,－1）（n=1,2,…）都落在通过P1（a,a－1）且以为斜率的直线上此直线方程为y－（a－1）=（x－a）,即x－2y+a－2=0

（3）解当a=1,b=时，Pn的坐标为（n,）,使P1（1,0）、P2（2,）、P3（3,1）都落在圆C外的条件是

由不等式①,得r≠1

由不等式②，得r＜－或r＞+

由不等式③，得r＜4－或r＞4+

再注意到r＞0,1＜－＜4－=+＜4+

故使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是

（0，1）∪（1,－）∪（4+,+∞）

12.解设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切

建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则

|PA|+|PO|=（1+r）+（15－r）=25

∴点P在以A、O为焦点，长轴长25的椭圆上，其方程为

=1①

同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为

（x－）2+y2=1②

由①、②可解得，

∴r=

故所求圆柱的直径为cm

第2课时圆锥曲线

考纲指要：

圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。

考点扫描：

1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；

3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有