高考数学一轮复习步步高第2节 平面向量基本定理及坐标表示Word文件下载.docx

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②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1），||＝.

4.平面向量共线的坐标表示

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

[常用结论与微点提醒]

1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.

2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

诊断自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×

”）

（1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.（　　）

（2）设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.（　　）

（3）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件可以表示成＝.（　　）

（4）平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.（　　）

解析　

（1）共线向量不可以作为基底.

（3）若b＝（0，0），则＝无意义.

答案　

（1）×

（2）√　（3）×

　（4）√

2.（老教材必修4P118A2（6）改编）下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）

A.e1＝（0，0），e2＝（1，－1）

B.e1＝（－1，1），e2＝（5，7）

C.e1＝（2，5），e2＝（4，10）

D.e1＝（2，－3），e2＝

解析　两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.

答案　B

3.（新教材必修第二册P33T1改编）已知向量a＝（－1，3），b＝（2，1），则3a－2b＝（　　）

A.（－7，7）B.（－3，－2）

C.（6，2）D.（4，－3）

解析　3a－2b＝（－3，9）－（4，2）＝（－7，7）.

答案　A

4.（2020·

广州质检）设向量a＝（－3，4），向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为（　　）

A.B.（－6，8）

C.D.（6，－8）

解析　因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝（－3λ，4λ），λ<

0，则|b|＝＝5|λ|＝10，故λ＝－2，b＝（6，－8）.

答案　D

5.（2019·

德州质检）已知▱ABCD的顶点A（－1，－2），B（3，－1），C（5，6），则顶点D的坐标为________.

解析　设D（x，y），则由＝，得（4，1）＝（5－x，6－y），即解得

答案　（1，5）

6.（2017·

山东卷）已知向量a＝（2，6），b＝（－1，λ），若a∥b，则λ＝________.

解析　∵a∥b，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3.

答案　－3

考点一　平面向量基本定理及其应用

【例1】（一题多解）（2020·

泉州四校联考）如图，＝2，＝2，＝m，＝n，若m＝，那么n＝（　　）

A.B.

C.D.

解析　法一　由＝2，＝2，知C是AB的中点，P是OC的中点，所以＝（＋），则＝（＋），又＝，＝n，从而＝－＝n－，＝－＝（＋）－＝－，又点M，P，N共线，所以存在实数λ，使＝λ成立，即n－＝λ，

又因为，不共线，

所以有解得n＝，故选A.

法二　设＝λ，∵＝，＝n，

∴＝＋＝＋λ（－）

＝＋λ＝（1－λ）＋nλ，

又知＝2，∴＝＝＋，

∴解得λ＝，n＝，故选A.

规律方法　1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：

先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

【训练1】（多填题）如图所示，AD是△ABC的中线，O是AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＝________，μ＝________.

解析　由题意知，＝（＋）＝＋＝（－）＋＝－

，∴λ＝，μ＝－.

答案　　－

考点二　平面向量的坐标运算

【例2】

（1）已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（－1，－2），C（3，1），且＝2，则顶点D的坐标为（　　）

C.（3，2）D.（1，3）

（2）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则＝（　　）

A.1B.2C.3D.4

解析　

（1）设D（x，y），＝（x，y－2），＝（4，3），又＝2，所以解得故选A.

（2）以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系（设每个小正方形边长为1），

则A（1，－1），B（6，2），C（5，－1），

∴a＝＝（－1，1），b＝＝（6，2），c＝＝（－1，－3），

∵c＝λa＋μb，∴（－1，－3）＝λ（－1，1）＋μ（6，2），

则解得λ＝－2，μ＝－，

∴，＝＝4.

答案　

（1）A　

（2）D

规律方法　向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用.

【训练2】

（1）已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A（1，1），C（2，3），||＝2||，则向量的坐标是________.

（2）如图所示，以e1，e2为基底，则a＝________.

解析　

（1）由点C是线段AB上一点，||＝2||，

得＝－2.设点B为（x，y），则（2－x，3－y）＝－2（1，2），即解得所以向量的坐标是（4，7）.

（2）以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则e1＝（1，0），e2＝（－1，1），a＝（－3，1），令a＝xe1＋ye2，即（－3，1）＝x（1，0）＋y（－1，1），则所以即a＝－2e1＋e2.

答案　

（1）（4，7）　

（2）－2e1＋e2

考点三　平面向量共线的坐标表示　多维探究

角度1　利用向量共线求向量或点的坐标

【例3－1】（一题多解）已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），则AC与OB的交点P的坐标为________.

解析　法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝（4λ，4λ），则＝－＝（4λ－4，4λ）.

又＝－＝（－2，6），

由与共线，得（4λ－4）×

6－4λ×

（－2）＝0，

解得λ＝，

所以＝＝（3，3），

所以点P的坐标为（3，3）.

法二　设点P（x，y），则＝（x，y），因为＝（4，4），且与共线，所以＝，即x＝y.

又＝（x－4，y），＝（－2，6），且与共线，

所以（x－4）×

6－y×

（－2）＝0，解得x＝y＝3，

答案　（3，3）

角度2　利用向量共线求参数

【例3－2】

（1）（2018·

全国Ⅲ卷）已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2），c＝（1，λ）.若c∥（2a＋b），则λ＝________.

（2）已知向量a＝（2，3），b＝（－1，2），若ma＋nb与a－3b共线，则＝________.

解析　

（1）由题意得2a＋b＝（4，2），因为c＝（1，λ），且c∥（2a＋b），所以4λ－2＝0，即λ＝.

（2）由≠，所以a与b不共线，

又a－3b＝（2，3）－3（－1，2）＝（5，－3）≠0.

那么当ma＋nb与a－3b共线时，

有＝，即得＝－.

答案　

（1）　

（2）－

规律方法　1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：

（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；

（2）若a∥b（b≠0），则a＝λb.

2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.

【训练3】

（1）（角度1）（2020·

山东师大附中检测）已知向量a＝（1，1），点A（3，0），点B为直线y＝2x上的一个动点，若∥a，则点B的坐标为________.

（2）（角度2）已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（－k，10），且A，B，C三点共线，则k的值是________.

解析　

（1）由题意设B（x，2x），则＝（x－3，2x），

∵∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，∴B（－3，－6）.

（2）＝－＝（4－k，－7），

＝－＝（－2k，－2）.

∵A，B，C三点共线，∴，共线，

∴－2×

（4－k）＝－7×

（－2k），解得k＝－.

答案　

（1）（－3，－6）　

（2）－

A级　基础巩固

一、选择题

1.设A（0，1），B（1，3），C（－1，5），D（0，－1），则＋等于（　　）

A.－2B.2C.－3D.3

解析　由题意得＝（1，2），＝（－1，4），＝（0，－2），所以＋＝（0，6）＝－3（0，－2）＝－3.

答案　C

2.已知点A（1，3），B（4，－1），则与同方向的单位向量是（　　）

A.B.

C.D.

解析　＝－＝（4，－1）－（1，3）＝（3，－4），

∴与同方向的单位向量为＝.

3.若P1（1，3），P2（4，0）且P是线段P1P2的一个三等分点（靠近点P1），则点P的坐标为（　　）

A.（2，2）B.（3，－1）

C.（2，2）或（3，－1）D.（2，2）或（3，1）

解析　由题意得＝且＝（3，－3）.

设P（x，y），则（x－1，y－3）＝（1，－1），

∴x＝2，y＝2，则点P（2，2）.

4.已知平面直角坐标系内的两个向量a＝（1，2），b＝（m，3m－2），且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb（λ，μ为实数），则实数m的取值范围是（　　）

A.（－∞，2）B.（2，＋∞）

C.（－∞，＋∞）D.（－∞，2）∪（2，＋∞）

解析　由题意知向量a，b不共线，

故2m≠3m－2，即m≠2.

5.已知向量a＝（2，3），b＝（－1，2），若ma＋b与a－2b共线，则m的值为（　　）

A.2B.－2C.D.－

解析　由a＝（2，3），b＝（－1，2），得ma＋b＝（2m－1，3m＋2），a－2b＝（4，

－1），又ma＋b与a－2b共线，所以－1×

（2m－1）＝（3m＋2）×

4，得m＝－，故选D.

6.（2019·

成都七中质检）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°

，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°

，设＝λ＋μ（λ，μ∈R），则＝（　　）

A.B.C.3D.2

解析　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为（1，0），C