届高三毕业班文科数学专题复习《数列》学案Word文件下载.docx
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4.（2015·
全国Ⅰ卷）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.
考点整合
1.等差数列
（1）通项公式：
an＝a1＋（n－1）d，
（2）求和公式：
Sn＝＝na1＋d，
（3）性质：
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
②an＝am＋（n－m）d；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列.
2.等比数列
an＝a1qn－1（q≠0）；
q＝1，Sn＝na1；
q≠1，Sn＝＝；
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·
an＝ap·
aq；
②an＝am·
qn－m；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，（Sm≠0）成等比数列.
3.求通项公式的常见类型
（1）观察法：
利用递推关系写出前几项，根据前几项的特点观察、归纳、猜想出an的表达式，然后用适当方法证明.
（2）利用前n项和与通项的关系an＝
（3）公式法：
利用等差（比）数列求通项公式.
（4）累加法：
在已知数列{an}中，满足an＋1＝an＋f（n），把原递推公式转化为an＋1－an＝f（n），再利用累加法（逐差相加法）求解.
（5）叠乘法：
在已知数列{an}中，满足an＋1＝f（n）an，把原递推公式转化为＝f（n），再利用叠乘法（逐商相乘法）求解.
（6）构造等比数列法：
在已知数列{an}中，满足an＋1＝pan＋q（其中p，q均为常数，pq（p－1）≠0）先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p（an－t），其中t＝，再利用换元法转化为等比数列求解.
热点一 等差、等比数列的判定与证明
【例1】（2016·
湖北八校联考）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1（n≥2），且an＋Sn＝n.
（1）设cn＝an－1，求证：
{cn}是等比数列；
（2）求数列{bn}的通项公式.
探究提高 判断和证明数列是等差（比）数列的二种方法
（1）定义法：
对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an为同一常数.
（2）中项公式法：
①若2an＝an－1＋an＋1（n∈N*，n≥2），则{an}为等差数列；
②若a＝an－1·
an＋1（n∈N*，n≥2），则{an}为等比数列.
【训练1】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数.
（1）证明：
an＋2－an＝λ；
（2）是否存在λ，使得{an}为等差数列？
并说明理由.
第二课时
热点二 求数列的通项
[微题型1] 由Sn与an的关系求an
【例2－1】（2016·
玉溪模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式.
探究提高 给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：
一是利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；
二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
[微题型2] 已知an与an＋1的递推关系式求an
【例2－2】在数列{an}中，
（1）若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________；
（2）若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项an＝________；
（3）若a1＝1，an＝an－1（n≥2）.则通项an＝________.
探究提高
（1）形如bn＋1－bn＝f（n），其中f（n）＝k或多项式（一般不高于三次），用累加法即可求得数列的通项公式；
（2）形如an＋1＝an·
f（n），可用累乘法；
（3）形如an＋1＝pan＋q（p≠1，q≠0），可构造一个新的等比数列；
（4）形如an＋1＝qan＋qn（q为常数，且q≠0，q≠±
1），解决方法是在递推公式两边同除以qn＋1.
【训练2】（2016·
义乌4月模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
（1）求a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：
对一切正整数n，有＋＋…＋<
.
热点三 等差数列、等比数列的综合问题
【例3】（2016·
九江二模）已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.
（1）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；
（2）求数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn＜Tm＋λ恒成立，求实数λ的取值范围.
1.在等差（比）数列中，a1，d（q），n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d（公比q）这两个基本量的有关运算.
2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.
3.应用关系式an＝时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
第2讲 数列求和
高考定位 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下.
（2016·
山东卷）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）令cn＝.求数列{cn}的前n项和Tn.
1.数列求和常用方法
（1）分组转化求和：
把数列的每一项拆成两项（或多项），再重新组合成两个（或多个）简单的数列，最后分别求和.
（2）错位相减法：
适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列.把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn.
（3）裂项相消法：
即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数）的数列.
2.数列与不等式的综合问题
主要题型为：
证明不等式，或不等式恒成立问题，其解决思路为转化为数列（和）的最值问题，而求最值常用方法为：
①作差比较法，利用数列单调性求最值；
②放缩法求最值.
热点一 分组转化求和
成都诊断）若数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n都有4an－3Sn＝8.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝（－1）n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
探究提高 在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式.
【训练1】（2016·
北京卷）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.
热点二 裂项相消法求和
【例2】（2016·
兰州5月模拟）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－（n2＋n－3）Sn－3（n2＋n）＝0，n∈N*.
对一切正整数n，有＋＋…＋＜.
探究提高
（1）裂项相消法的基本思想是把数列的通项an分拆成an＝bn＋1－bn等形式，从而达到在求和时逐项相消的目的，在解题中要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式，使之符合裂项相消法的条件.
（2）当公式不能直接求和时，可对其进行放缩，可变形为能利用公式求和，或变形为能裂项求和.
热点三 错位相减法求和
珠海二模）已知数列{an}的前n项和Sn，满足：
Sn＝2an－2n（n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项an；
（2）若数列{bn}满足bn＝log2（an＋2），Tn为数列{}的前n项和，求证：
Tn≥.
探究提高
（1）所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到的部分，在求等比数列的和时，一定要查清其项数.
（2）为保证结果正确，可对得到的和取n＝1，2进行验证.
【训练2】已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝an·
an＋1，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，求证：
＜Tn＜.
【训练3】（2016·
太原模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an＋1＋n－2，n∈N*，a1＝2.
数列{an－1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝（n∈N*）的前n项和为Tn，证明：
Tn＜6.
1.裂项后相消的规律
（1）裂项系数取决于前后两项分母的差.
（2）裂项相消后前、后保留的项数一样多.
2.错位相减法的关注点
（1）适用题型：
等差数列{an}乘以等比数列{bn}对应项（{an·
bn}）型数列求和.
（2）步骤：
①求和时先乘以数列{bn}的公比；
②把两个和的形式错位相减；
③整理结果形式.
3.裂项求和的常见技巧
（1）＝－.
（2）＝.
（3）＝.
（4）＝.
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