《平面和平面垂直的判定和性质》教学设计Word文件下载.docx

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二面角的定义：

平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

（2）平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

（3）判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直

⇒α⊥β

性质定理

如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

⇒l⊥α

2．预习自测

1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是（）

A．b⊥β

B．b∥β

C．b⊂β

D．b⊂β或b∥β

【解题过程】由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β，故选D.

【答案】D

2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解题过程】若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；

反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.

【答案】A

3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面（）

A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α.

B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α.

C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α.

D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.

【解题过程】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；

B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；

C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；

D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．

【答案】C

（二）课堂设计

1．知识回顾

（1）直线和平面垂直的判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

（2）直线和平面垂直的判定的另外一种判定方法

判定方法

如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．

，．

则

（3）直线和平面垂直的性质定理

性质定理

如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

⇒a∥b

2．问题探究

探究一实例引领，认识平面和平面垂直的概念★

●活动①简单类比，引出定义

两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．

教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．

两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的．

请同学思考两个平面互相垂直的定义.

两个平面互相垂直的定义可表述为：

如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图．

平面α和β垂直，记作α⊥β．

●活动②实例引领，思维激活

实例：

如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,这是为什么?

曲尺的一边在一面内转动即为形成一个平面,而另一边与此平面垂直,且又紧靠在另一平面上,即垂线在另一平面内．所以我们得到面面垂直的判定定理．

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．）

下面我们一起给出分析，证明：

已知：

AB⊥β，AB∩β＝B，ABα．

【解题过程】要证α⊥β，需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．

证明：

设α∩β＝CD，则由AB⊂α知，AB、CD共面．

∵AB⊥β，CDβ，∴AB⊥CD，垂足为点B．

在平面β内过点B作直线BE⊥CD．

则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．

又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．

∴α⊥β．

现在同学们明确了面面垂直的判定定理，请思考：

建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？

［学生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线．

［老师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：

线面垂直⇒面面垂直

请同学们接着思考如下问题：

在所给正方体中，下式是否正确：

①平面ADD1A1⊥平面ABCD；

②D1A⊥AB；

③D1A⊥面ABCD．

［学生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB⊂面ABCD．∴平面ABCD⊥平面ADD1A1．

②∵AB⊥面ADD1A1，D1A⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A

③∵AA1⊥面ABCD，∴AD1与平面ABCD不垂直．

平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，A是平面ADD1A1内一点．过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？

判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直．

从转化的角度可表述为：

面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法．

下面我们一起来完成证明.

证明过程如下：

α⊥β、α∩β＝a，ABα，AB⊥a于B．

【解题过程】：

在平面β内作BE⊥a垂足为B，

则∠ABE就是二面角α-a-β的平面角．

由α⊥β可知，AB⊥BE．

又AB⊥a，BE与a是β内两条相交直线，∴AB⊥β．

证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？

主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的.

【设计意图】构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．

【答案】见解题过程.

探究二层层深化，掌握平面和平面垂直的判定定理和性质定理．

●活动①互动交流，初步实践

例1求证：

（1）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；

（2）如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直．

【知识点】平面和平面垂直的判定.

【数学思想】化归思想.

【解题过程】

（1）已知：

l∥α，l⊥β，求证：

α⊥β.

在平面α内任取一点P．

∵l∥α，∴Pl．

P、l可确定一平面γ．设α∩γ＝l′则l∥l′．

［该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形．］

（2）已知：

α⊥β，β∥γ．求证：

α⊥γ

过β内一点P作直线l，使l⊥α则lβ．

l与γ内任一点Q确定平面δ，设δ∩γ＝l′，则l∥l′．

l′⊥α，因此γ⊥α．

【思路点拨】题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决．由此我们又多了两个判断面面垂直的结论.

●活动②巩固基础，检查反馈

例2如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：

平面PAC⊥平面PBC．

【知识点】平面和平面垂直的判定

【数学思想】化归思想

【解题过程】证明：

因为AB是⊙O的直径，C是圆周上的点，所以有BC⊥AC①．因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则PA⊥BC②．

由①②及AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC．

因为BC⊂平面PBC，有平面PAC⊥平面PBC．

【思路点拨】低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．

例3如图，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：

BC⊥AC．

【知识点】平面和平面垂直的判断和性质.

【数学思想】转化思想.

在平面PAC内作AD⊥PC，交PC于D．因为平面PAC⊥平面PBC于PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC①．另外PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．由①②及AC∩PA＝A，可知BC⊥平面PAC．因为AC⊂平面PAC，所以BC⊥AC．

【思路点拨】在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：

概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．

例4P为120°

角α-a-β内一点，P到α和β的距离均为10，求点P到棱a的距离．

【知识点】二面角的概念，距离.

【解题过程】如图，

过点P作PA⊥α于A，PB⊥β于B，

设相交直线PA、PB确定的平面为γ，a∩γ＝O，则α∩γ＝OA，β∩γ＝OB

连结PO，则AP=BP=10

∵PA⊥α，PB⊥β，∴a⊥γ，而PO⊂平面γ，∴a⊥PO，

∴PO的长即为点P到直线a的距离．

又∵a⊥γ，，

∴∠AOB是二面角α-a-β的平面角，即∠AOB=120°

．

而四边形AOBP为一圆内接四边形，且PO为该四边形的外接圆直径．

∵四边形AOBP的外接圆半径等于由A、B、O、P中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO的长可利用△APB．

在△APB中，AP=BP=10，∠APB=60°

，∴AB=10．

由正弦定理：

【思路点拨】

（1）该题寻找120°

的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．

（2）充分借助于四边形PAOB为一圆内接四边形，∵PA⊥OA，PB⊥OB，∵PO即为其外接圆直径，然后借助于四边形的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．

【答案】

活动③强化提升，灵活应用

例5.过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC，如图，∠BSC=90°

，∠ASC=∠ASB=60°

，若截取SA=SB=SC=a.

（1）求证：

平面ABC⊥平面BSC；

（2）求S到平面ABC的距离．

【知识点】面面垂直的证明，距离.

（1）证明：

∵SA=SB=SC=a，

又∠ASC=∠ASB=60°

，

∴△ASB和△ASC都是等边三角形，∴AB=AC=a，

取BC的中点H，连结AH，∴AH⊥BC．

在Rt△BSC中，BS=CS=a，

∴SH⊥BC，，

∴，∴．