普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学试题 解析版Word文档下载推荐.docx

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普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学试题 解析版Word文档下载推荐.docx

【答案】7

第一次循环:

;

第二次循环:

第三次循环:

结束循环,输出

循环结构流程图

5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.

古典概型概率

6.已知向量a=,b=,若ma+nb=(),的值为______.

由题意得:

向量相等

7.不等式的解集为________.

,解集为

解指数不等式与一元二次不等式

8.已知,,则的值为_______.

【答案】3

两角差正切公式

9.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为

由体积相等得:

圆柱及圆锥体积

10.在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为

直线与圆位置关系

11.数列满足,且(),则数列的前10项和为

所以

数列通项,裂项求和

12.在平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点。

若点到直线的距离大于c恒成立,则是实数c的最大值为

设,因为直线平行于渐近线,所以c的最大值为直线与渐近线之间距离,为

双曲线渐近线,恒成立转化

13.已知函数,,则方程实根的个数为

【答案】4

函数与方程

14.设向量,则的值为

因此

向量数量积,三角函数性质

二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.(本小题满分14分)在中,已知.

(1)求的长;

(2)求的值.

(1)

(2)

余弦定理,二倍角公式

16.(本题满分14分)如图,在直三棱柱中,已知,,设的中点为,.求证:

(1);

(2).

(1)详见解析

(2)详见解析

(1)由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点,从而由三角形中位线性质得,再由线面平行判定定理得

(2)因为直三棱柱中,所以侧面为正方形,因此,又,(可由直三棱柱推导),因此由线面垂直判定定理得,从而,再由线面垂直判定定理得,进而可得

线面平行判定定理,线面垂直判定定理

17.(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到的距离分别为5千米和40千米,点N到的距离分别为20千米和2.5千米,以所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数(其中a,b为常数)模型.

(1)求a,b的值;

(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.

请写出公路l长度的函数解析式,并写出其定义域;

当t为何值时,公路l的长度最短?

求出最短长度.

(1)

(2)①定义域为,②千米

(2)由

(1)知,(),则点的坐标为,

设在点处的切线交,轴分别于,点,,

利用导数求函数最值,导数几何意义

 

18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.

(1)

(2)或.

(2)当轴时,,又,不合题意.

当与轴不垂直时,设直线的方程为,,,

将的方程代入椭圆方程,得,

则,的坐标为,且

若,则线段的垂直平分线为轴,与左准线平行,不合题意.

从而,故直线的方程为,

则点的坐标为,从而.

因为,所以,解得.

此时直线方程为或.

椭圆方程,直线与椭圆位置关系

19.(本小题满分16分)已知函数.

(1)试讨论的单调性;

(2)若(实数c是a与无关的常数),当函数有三个不同的零点时,a

的取值范围恰好是,求c的值.

(1)当时,在上单调递增;

当时,在,上单调递增,在上单调递减;

当时,在,上单调递增,在上单调递减.

(2)

利用导数求函数单调性、极值、函数零点

20.(本小题满分16分)设是各项为正数且公差为d的等差数列

(1)证明:

依次成等比数列;

(2)是否存在,使得依次成等比数列,并说明理由;

(3)是否存在及正整数,使得依次成等比数列,并说明理由.

(1)详见解析

(2)不存在(3)不存在

(2)令,则,,,分别为,,,(,,).

假设存在,,使得,,,依次构成等比数列,

则,且.

令,则,且(,),

化简得(),且.将代入()式,

,则.

显然不是上面方程得解,矛盾,所以假设不成立,

因此不存在,,使得,,,依次构成等比数列.

(3)假设存在,及正整数,,使得,,,依次构成等比数列,

分别在两个等式的两边同除以及,并令(,),

将上述两个等式两边取对数,得,

且.

化简得,

再将这两式相除,化简得().

令,

则.

令,则.

由,,

知,,,在和上均单调.

故只有唯一零点,即方程()只有唯一解,故假设不成立.

所以不存在,及正整数,,使得,,,依次构成等比数列.

等差、等比数列的定义及性质,函数与方程

附加题

21.A(选修4—1:

几何证明选讲)

如图,在中,,的外接圆圆O的弦交于点D

求证:

【答案】详见解析

三角形相似

21.B(选修4—2:

矩阵与变换)

已知,向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量,矩阵以及它的另一个特征值.

【答案】,另一个特征值为.

由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y的方程组,再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值

试题解析:

由已知,得,即,

则,即,所以矩阵.

从而矩阵的特征多项式,所以矩阵的另一个特征值为.

矩阵运算,特征值与特征向量

21.C(选修4—4:

坐标系与参数方程)

已知圆C的极坐标方程为,求圆C的半径.

圆的极坐标方程,极坐标与之间坐标互化

21.D(选修4—5:

不等式选讲)

解不等式

根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集,分别求解即可

原不等式可化为或.

解得或.

综上,原不等式的解集是.

含绝对值不等式的解法

22.(本小题满分10分)如图,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,,.

(1)求平面与平面所成二面角的余弦值;

(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成角最小时,求线段BQ的长

空间向量、二面角、异面直线所成角

23.(本小题满分10分)已知集合,,,令表示集合所含元素的个数.

(1)写出的值;

(2)当时,写出的表达式,并用数学归纳法证明.

(1)13

(2)

下面用数学归纳法证明:

当时,,结论成立;

假设()时结论成立,那么时,在的基础上新增加的元素在,

计数原理、数学归纳法

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