测评网高一数学复习第九讲极限与探索性问题的解题技巧.docx

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测评网高一数学复习第九讲极限与探索性问题的解题技巧

第九讲极限与探索性问题的解题技巧

【命题趋向】综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对极限的考查有以下一些知识类型与特点：

1．数学归纳法

①客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）．

②解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目

③数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法.在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧，这一点要高度注意．

2.数列的极限

①客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，直接运用四则运算法则求极限．

②解答题大多结合数列的计算求极限等，涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.

③数列与几何：

由同样的方法得到非常有规律的同一类几何图形，通常相关几何量构成等比数列，这是一类新题型．

3．函数的极限

①此部分为新增内容，本章内容在高考中以填空题和解答题为主．应着重在概念的理解，通过考查函数在自变量的某一变化过程中，函数值的变化趋势，说出函数的极限．

②利用极限的运算法则求函数的极限进行简单的运算．

③利用两个重要极限求函数的极限．

④函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.

4.在一套高考试题中，极限一般分别有1个客观题或1个解答题，分值在5分—12分之间．

5.在高考试题中，极限题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而极限题是高考中的得分点．

6.注意掌握以下思想方法

1极限思想：

在变化中求不变，在运动中求静止的思想；

2数形结合思想，如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等.

此类题大多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求较高．

【考点透视】

1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

2．了解数列极限和函数极限的概念．

3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．

4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．

【例题解析】

考点1数列的极限

1.数列极限的定义：

一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限.

注意：

a不一定是｛an｝中的项.

2.几个常用的极限：

①C=C（C为常数）;②=0;③qn=0（|q|＜1）.

3.数列极限的四则运算法则：

设数列｛an｝、｛bn｝，

当an=a,bn=b时，（an±bn）=a±b;

例1.（2006年湖南卷）数列{}满足:

且对于任意的正整数m,n都有,则（）

A.B.C.D.2

[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式的应用.

[解答过程]由和得

故选A.

例2．（2006年安徽卷）设常数，展开式中的系数为，则_____.

[考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数,再求极限的能力.

[解答过程]，由，所以，所以为1.

例3.（2007年福建卷理）把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于（）（）

A．B．C．D．2

[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式的应用.

[解答过程]

故选D

例4.（2007年天津卷理）设等差数列的公差是2，前项的和为，则　　　　　　．

思路启迪：

由等差数列的公差是2，先求出前项的和为和通项．

[解答过程]

故填3

小结:

1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：

（1）各数列的极限必须存在；

（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算.

2.熟练掌握如下几个常用极限：

（1）C=C（C为常数）;

（2）（）p=0（p＞0）;

（3）=（k∈N*,a、b、c、d∈R且c≠0）;

（4）qn=0（|q|＜1）.

例5.（2007年重庆卷理）设正数a,b满足则（）

（A）0（B）（C）（D）1

解:

故选B

小结:

重视在日常学习过程中运用化归思想.

考点2函数的极限

1.函数极限的概念：

（1）如果f（x）=a且f（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极限是

a,记作f（x）=a,也可记作当x→∞时，f（x）→a.

（2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x→x0时，f（x）→a.

（3）一般地，如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0＝无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限，记作f（x）=a.如果从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数

f（x）在点x0处的右极限，记作f（x）=a.

2.极限的四则运算法则：

如果f（x）=a,g（x）=b,那么

[f（x）±g（x）]=a±b;[f（x）·g（x）]=a·b;=（b≠0）.

例6．（2007年江西卷理）=（）

A．等于0B．等于lC．等于3D．不存在

[考查目的]本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力.

[解答过程]故选B

例7．（2007年四川卷理）（）

（A）0（B）1（C）（D）

[考查目的]本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力.

[解答过程]

故选D

例8.若f（x）=在点x=0处连续，则f（0）=__________________.

思路启迪：

利用逆向思维球解.

解答过程：

∵f（x）在点x=0处连续，∴f（0）=f（x）,

f（x）===.

答案:

例9.设函数f（x）=ax2+bx+c是一个偶函数,且f（x）=0,f（x）=－3,求这一函数最大值..

思路启迪：

由函数f（x）=ax2+bx+c是一个偶函数,利用f（－x）=f（x）构造方程,求出

b的值.

解答过程：

∵f（x）=ax2+bx+c是一偶函数,

∴f（－x）=f（x）,即ax2+bx+c=ax2－bx+c.

∴b=0.∴f（x）=ax2+c.

又f（x）=ax2+c=a+c=0,f（x）=ax2+c=4a+c=－3,

∴a=－1,c=1.∴f（x）=－x2+1.∴f（x）max=f（0）=1.

∴f（x）的最大值为1.

例10.设f（x）是x的三次多项式，已知===1.

求的值（a为非零常数）.

解答过程：

由于=1,可知f（2a）=0.①

同理f（4a）=0.②

由①②，可知f（x）必含有（x－2a）与（x－4a）的因式，由于f（x）是x的三次多项式，故可设f（x）=A（x－2a）（x－4a）（x－C）.

这里A、C均为待定的常数.

由=1,即

=A（x－4a）（x－C）=1,

得A（2a－4a）（2a－C）=1,

即4a2A－2aCA=－1.③

同理，由于=1,

得A（4a－2a）（4a－C）=1,

即8a2A－2aCA=1.④

由③④得C=3a,A=,

因而f（x）=（x－2a）（x－4a）（x－3a）.

∴=（x－2a）（x－4a）

=·a·（－a）=－.

例11a为常数，若（－ax）=0,则a的值是____________..

思路启迪：

先对括号内的的式子变形.

解答过程：

∵（－ax）===0,

∴1－a2=0.∴a=±1.但a=－1时，分母→0,

∴a=1.

考点3.函数的连续性及极限的应用

1.函数的连续性.

一般地，函数f（x）在点x=x0处连续必须满足下面三个条件：

（1）函数f（x）在点x=x0处有定义；

（2）f（x）存在；（3）f（x）=f（x0）.如果函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，而且f（x）=f（x0）,就说函数f（x）在点x0处连续.

2.如果f（x）是闭区间［a,b］上的连续函数，那么f（x）在闭区间［a,b］上有最大值和最小值.

3.若f（x）、g（x）都在点x0处连续,则f（x）±g（x）,f（x）·g（x）,（g（x）≠0）也在点x0处连续.若u（x）在点x0处连续,且f（u）在u0=u（x0）处连续,则复合函数f［u（x）］在点x0处也连续.

例12..f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分又不必要

思路启迪：

说明问题即可.

解答过程：

f（x）在x=x0处有定义不一定连续.

答案：

A

例13.f（x）=的不连续点为（）

A.x=0B.x=（k=0,±1,±2,…）

C.x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,…）D.x=0和x=（k=0,±1,±2,…）

思路启迪：

由条件出发列方程解之.

解答过程：

由cos=0,得=kπ+（k∈Z）,∴x=.

又x=0也不是连续点,故选D

答案：

D

例14.设f（x）=当a为________时,函数f（x）是连续的.

解答过程：

f（x）=（a+x）=a,f（x）=ex=1,而f（0）=a,故当a=1时,f（x）=f（0）,

即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时,f（x）在（－∞,+∞）内是连续的.

小结：

分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.

例15.已知函数f（x）=函数f（x）在哪点连续（）

A.处处连续B.x=1C.x=0D.x=

思路启迪：

考虑结果的启发性.

解答过程：

f（x）=f（x）=f（）.

答案：

D

例16..抛物线y=b（）2、x轴及直线AB:

x=a围成了如图

（1）的阴影部分,AB与x轴交于点A,把线段OA分成n等份,作以为底的内接矩形如图

（2）,阴影部分的面积为S等于这些内接矩形面积之和当n→∞时的极限值,求S的值.

思路启迪：

先列出式子.

解答过程：

S=［b·（）2+b·（）2+b·（）2+…+b·（）2］2·

=·ab

=·ab=ab.

例17.如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切,…,圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去,记圆On的面积为an（n∈N*）.

（1）证明{an}是等比数列；

（2）求（a1+a2+…+an）的值.

解答过程：

（1）证明:

记rn为圆On的半径，

则r1=tan30°=l.

=sin30°=,∴rn=rn－1（n≥2）.

于是a1=πr12=,=（）2=,

∴{an}成等比数列.

（2）解：

因为an=（）n－1·a1（n∈N*）,

所以（a1+a2+…+an）==.

例18.一弹性小球自h0=5m高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的,不计每次碰撞时间,则小球从开始下落到停止运动