新教材新人教A版必修一 函数的单调性与最值 学案文档格式.docx
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结论
M为最大值
M为最小值
知识拓展
函数单调性的常用结论
(1)对任意x1,x2∈D(x1≠x2),>
0⇔f(x)在D上是增加的,<
0⇔f(x)在D上是减少的.
(2)对勾函数y=x+(a〉0)的递增区间为(-∞,-]和[,+∞),递减区间为[-,0)和(0,].
(3)在区间D上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)若定义在R上的函数f(x),有f(-1)〈f(3),则函数f(x)在R上为增函数.(×
)
(2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的递增区间是[1,+∞).(×
(3)函数y=的递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(×
(4)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到.(√)
题组二 教材改编
2.函数f(x)=x2-2x的递增区间是____________.
答案 [1,+∞)(或(1,+∞))
3.函数y=在[2,3]上的最大值是________.
答案 2
4.若函数f(x)=x2-2mx+1在[2,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是________.
答案 (-∞,2]
解析 由题意知,[2,+∞)⊆[m,+∞),∴m≤2.
题组三 易错自纠
5.函数y=(x2-4)的递减区间为________.
答案 (2,+∞)
6.若函数f(x)=|2x+a|的递增区间是[3,+∞),则a的值为________.
答案 -6
解析 由图像(图略)易知函数f(x)=|2x+a|的递增区间是,令-=3,得a=-6。
7.函数f(x)=的最大值为________.
解析 当x≥1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f
(1)=1;
当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.
题型一 确定函数的单调性(区间)
命题点1 给出具体解析式的函数的单调性
典例
(1)函数y=(2x2-3x+1)的递减区间为()
A.(1,+∞)B。
C.D。
答案A
解析 由2x2-3x+1〉0,
得函数的定义域为∪(1,+∞).
令t=2x2-3x+1,则y=t,
∵t=2x2-3x+1=22-,
∴t=2x2-3x+1的递增区间为(1,+∞).
又y=t在(1,+∞)上是减函数,
∴函数y=(2x2-3x+1)的递减区间为(1,+∞).
(2)函数y=-x2+2|x|+3的递减区间是__________________.
答案 [-1,0],[1,+∞)
解析 由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;
当x<
0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
二次函数的图像如图.
由图像可知,函数y=-x2+2|x|+3的递减区间为[-1,0],[1,+∞).
命题点2 解析式含参数的函数的单调性
典例判断并证明函数f(x)=ax2+(其中1<a<3)在[1,2]上的单调性.
解 函数f(x)=ax2+(1<
a〈3)在[1,2]上是增加的.
证明:
设1≤x1<x2≤2,则
f(x2)-f(x1)=ax+-ax-
=(x2-x1),
由1≤x1<x2≤2,得x2-x1>0,2<x1+x2<4,
1<x1x2<4,-1<-<-.
又因为1<a<3,
所以2<a(x1+x2)<12,
得a(x1+x2)->0,
从而f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
故当a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上是增加的.
引申探究
如何用导数法求解本例?
解 因为f′(x)=2ax-=,
因为1≤x≤2,∴1≤x3≤8,
又1<a<3,
所以2ax3-1>0,
所以f′(x)>0,
所以函数f(x)=ax2+(其中1<a<3)在[1,2]上是增函数.
思维升华确定函数单调性的方法
(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法;
(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减"
;
(3)图像法,图像不连续的单调区间不能用“∪”连接.
跟踪训练
(1)(2017·
郑州模拟)函数y=的递增区间为()
C。
D。
答案B
解析 易知函数y=t为减函数,t=2x2-3x+1的递减区间为。
∴函数y=的递增区间是。
(2)函数y=-(x-3)|x|的递增区间是________.
答案
解析 y=-(x-3)|x|=
作出该函数的图像,观察图像知递增区间为.
题型二 函数的最值
1.函数f(x)=x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________.
答案 3
解析 由于y=x在R上是减少的,y=log2(x+2)在[-1,1]上是增加的,所以f(x)在[-1,1]上是减少的,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3。
2.已知函数f(x)=则f(x)的最小值是________.
答案 2-6
解析 当x≤1时,f(x)min=0,当x>1时,f(x)min=2-6,当且仅当x=时取到最小值,又2-6<0,所以f(x)min=2-6。
3.已知函数f(x)=-(a〉0,x〉0),若f(x)在上的值域为,则a=________.
解析 由反比例函数的性质知函数f(x)=-(a〉0,x>
0)在上是增加的,
所以 即解得a=。
思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路
(1)单调性法:
先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
(2)图像法:
先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值.
(3)基本不等式法:
先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(4)导数法:
先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.
(5)换元法:
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较大小
典例已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>
x1〉1时,[f(x2)-f(x1)]·
(x2-x1)〈0恒成立,设a=f,b=f
(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为()
A.c〉a〉bB.c>
b>
aC.a>
c>
bD.b〉a>
c
答案 D
解析 根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数,因为a=f=f,且2<
<
3,所以b〉a>
c.
命题点2 解函数不等式
典例已知函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,若f(a2-a)〉f(a+3),则实数a的取值范围为____________.
答案(-3,-1)∪(3,+∞)
解析 由已知可得
解得-3〈a<
-1或a>
3,
所以实数a的取值范围为(-3,-1)∪(3,+∞).
命题点3 求参数范围
典例
(1)(2018·
郑州模拟)函数y=在(-1,+∞)上是增加的,则a的取值范围是()
A.a=-3B.a<3
C.a≤-3D.a≥-3
(2)已知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是()
A.(0,1)B。
答案
(1)C
(2)C
解析
(1)y==1+,
由题意知得a≤-3。
∴a的取值范围是a≤-3.
(2)由f(x)是减函数,得
∴≤a<,
∴a的取值范围是。
思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小.
(2)解不等式.利用函数的单调性将“f”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域.
(3)利用单调性求参数.
①依据函数的图像或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较;
②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;
③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.
跟踪训练
(1)如果函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有〉0成立,那么a的取值范围是________.
解析 对任意x1≠x2,都有>0。
所以y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
所以解得≤a<2。
故实数a的取值范围是.
(2)(2017·
珠海模拟)定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+∞)上是增加的,且f=0,则不等式f(logx)>
0的解集为________________.
答案
解析 由题意知,f=-f=0,
f(x)在(-∞,0)上也是增加的.
∴f(logx)>f或f(logx)>f,
∴logx>或-<logx<0,
解得0<x<或1<x<3.
∴原不等式的解集为。
1.函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上是()
A.减函数B.增函数
C.先减少再增加D.先增加再减少
答案C
解析 作出函数y=x2-6x+10的图像(图略),
根据图像可知函数在(2,4)上是先减少再增加.
2.(2017·
河南中原名校第一次质检)函数y=(-x2+x+6)的递增区间为()
A.B。
D.
答案 A
解析 由-x2+x+6>0,得-2<x<3,故函数的定义域为(-2,3),令t=-x2+x+6,则y=t,易知其为减函数,由复合函数的性法则可知本题等价于求函数t=-x2+x+6在(-2,3)上的递减区间.
利用二次函数的性质可得t=-x2+x+6在定义域(-2,3)上的递减区间为,故选A.
3.下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是()
A.y=B.y=cosx
C.y=ln(x+1)D.y=2-x
答案D
解析 y=与y=ln(x+1)在区间(-1,1)上为增函数;
y=cosx在区间(-1,1)上不是单调函数;
y=2-x=x在(-1,1)上为减函数.
4.已知函数y=log2(ax-1)在(1,2)上是增函数,则实数a的取值范围是()
A.(0,1]B.[1,2]
C.[1,+∞)D.[2,+∞)
答案 C
解析 要使y=log2(ax-1)在(1,2)上是增函数,则a>
0且a-1≥0,即a≥1。
5.(2017·
天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f,b=f,c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为()
A.a<
b〈cB.b<
a〈c
C.c<
b<
aD.c〈a<
b
解析 ∵f(x)在R上是奇函数,
∴a=-f=f=f(log25).
又f(x)在R上是增函数,
且log25>log24.1>log24=2>20。
8,
∴f(log25)>f(log24