新教材新人教A版必修一 函数的单调性与最值 学案文档格式.docx

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结论

M为最大值

M为最小值

知识拓展

函数单调性的常用结论

（1）对任意x1，x2∈D（x1≠x2）,>

0⇔f（x）在D上是增加的，<

0⇔f（x）在D上是减少的．

（2）对勾函数y＝x＋（a〉0）的递增区间为（－∞,－］和［，＋∞），递减区间为[－，0）和（0，］．

（3）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

（4）函数f（g（x））的单调性与函数y＝f（u）和u＝g（x）的单调性的关系是“同增异减”．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）若定义在R上的函数f（x），有f（－1）〈f（3），则函数f（x）在R上为增函数．（×

）

（2）函数y＝f（x）在[1，＋∞）上是增函数,则函数的递增区间是［1，＋∞）．（×

（3）函数y＝的递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）．（×

（4）闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．（√）

题组二　教材改编

2．函数f（x）＝x2－2x的递增区间是____________．

答案　[1，＋∞）（或（1，＋∞））

3．函数y＝在[2，3］上的最大值是________．

答案　2

4．若函数f（x）＝x2－2mx＋1在[2,＋∞）上是增函数，则实数m的取值范围是________．

答案　（－∞，2］

解析　由题意知，［2，＋∞）⊆[m，＋∞），∴m≤2.

题组三　易错自纠

5．函数y＝（x2－4）的递减区间为________．

答案　（2,＋∞）

6．若函数f（x）＝｜2x＋a|的递增区间是[3，＋∞）,则a的值为________．

答案　－6

解析　由图像（图略）易知函数f（x）＝|2x＋a|的递增区间是，令－＝3，得a＝－6。

7．函数f（x）＝的最大值为________．

解析　当x≥1时，函数f（x）＝为减函数，所以f（x）在x＝1处取得最大值，为f

（1）＝1；

当x＜1时，易知函数f（x）＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f（0）＝2.故函数f（x）的最大值为2.

题型一　确定函数的单调性（区间）

命题点1　给出具体解析式的函数的单调性

典例

（1）函数y＝（2x2－3x＋1）的递减区间为（）

A．（1，＋∞）B。

C.D。

答案A

解析　由2x2－3x＋1〉0，

得函数的定义域为∪（1，＋∞）．

令t＝2x2－3x＋1，则y＝t，

∵t＝2x2－3x＋1＝22－，

∴t＝2x2－3x＋1的递增区间为（1，＋∞）．

又y＝t在（1，＋∞）上是减函数，

∴函数y＝（2x2－3x＋1）的递减区间为（1，＋∞）．

（2）函数y＝－x2＋2|x|＋3的递减区间是__________________．

答案　[－1，0］,[1,＋∞）

解析　由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4；

当x<

0时,y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，

二次函数的图像如图．

由图像可知,函数y＝－x2＋2|x|＋3的递减区间为[－1,0］,[1,＋∞）．

命题点2　解析式含参数的函数的单调性

典例判断并证明函数f（x）＝ax2＋（其中1＜a＜3）在［1，2］上的单调性．

解　函数f（x）＝ax2＋（1<

a〈3）在［1,2］上是增加的．

证明：

设1≤x1＜x2≤2，则

f（x2）－f（x1）＝ax＋－ax－

＝（x2－x1），

由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，2＜x1＋x2＜4，

1＜x1x2＜4,－1＜－＜－.

又因为1＜a＜3，

所以2＜a（x1＋x2）＜12,

得a（x1＋x2）－＞0，

从而f（x2）－f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）,

故当a∈（1，3）时，f（x）在[1,2]上是增加的．

引申探究

如何用导数法求解本例？

解　因为f′（x）＝2ax－＝,

因为1≤x≤2,∴1≤x3≤8，

又1＜a＜3，

所以2ax3－1＞0，

所以f′（x）＞0,

所以函数f（x）＝ax2＋（其中1＜a＜3）在［1，2］上是增函数．

思维升华确定函数单调性的方法

（1）定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法；

（2）复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减"

；

（3）图像法，图像不连续的单调区间不能用“∪”连接．

跟踪训练

（1）（2017·

郑州模拟）函数y＝的递增区间为（）

C。

D。

答案B

解析　易知函数y＝t为减函数，t＝2x2－3x＋1的递减区间为。

∴函数y＝的递增区间是。

（2）函数y＝－（x－3）|x｜的递增区间是________．

答案

解析　y＝－（x－3）｜x|＝

作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.

题型二　函数的最值

1．函数f（x）＝x－log2（x＋2）在区间［－1，1]上的最大值为________．

答案　3

解析　由于y＝x在R上是减少的，y＝log2（x＋2）在［－1，1］上是增加的，所以f（x）在［－1,1]上是减少的,故f（x）在［－1，1]上的最大值为f（－1）＝3。

2．已知函数f（x）＝则f（x）的最小值是________．

答案　2－6

解析　当x≤1时,f（x）min＝0，当x＞1时，f（x）min＝2－6,当且仅当x＝时取到最小值,又2－6＜0，所以f（x）min＝2－6。

3．已知函数f（x）＝－（a〉0，x〉0）,若f（x）在上的值域为，则a＝________.

解析　由反比例函数的性质知函数f（x）＝－（a〉0，x>

0）在上是增加的，

所以　即解得a＝。

思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路

（1）单调性法：

先确定函数的单调性，再由单调性求最值．

（2）图像法：

先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点,求出最值．

（3）基本不等式法：

先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．

（4）导数法：

先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．

（5）换元法:

对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．

题型三　函数单调性的应用

命题点1　比较大小

典例已知函数f（x）的图像向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>

x1〉1时,[f（x2）－f（x1）]·

（x2－x1）〈0恒成立，设a＝f，b＝f

（2），c＝f（3）,则a，b,c的大小关系为（）

A．c〉a〉bB．c>

b>

aC．a>

c>

bD．b〉a>

c

答案　D

解析　根据已知可得函数f（x）的图像关于直线x＝1对称，且在（1，＋∞）上是减函数，因为a＝f＝f,且2<

<

3，所以b〉a>

c.

命题点2　解函数不等式

典例已知函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，若f（a2－a）〉f（a＋3），则实数a的取值范围为____________．

答案（－3,－1）∪（3，＋∞）

解析　由已知可得

解得－3〈a<

－1或a>

3，

所以实数a的取值范围为（－3，－1）∪（3，＋∞）．

命题点3　求参数范围

典例

（1）（2018·

郑州模拟）函数y＝在（－1,＋∞）上是增加的，则a的取值范围是（）

A．a＝－3B．a＜3

C．a≤－3D．a≥－3

（2）已知f（x）＝是（－∞,＋∞）上的减函数,则a的取值范围是（）

A．（0，1）B。

答案　

（1）C

（2）C

解析　

（1）y＝＝1＋，

由题意知得a≤－3。

∴a的取值范围是a≤－3.

（2）由f（x）是减函数,得

∴≤a＜，

∴a的取值范围是。

思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

（1）比较大小．

（2）解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域．

（3）利用单调性求参数．

①依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；

②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

跟踪训练

（1）如果函数f（x）＝满足对任意x1≠x2,都有〉0成立,那么a的取值范围是________．

解析　对任意x1≠x2，都有＞0。

所以y＝f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数．

所以解得≤a＜2。

故实数a的取值范围是.

（2）（2017·

珠海模拟）定义在R上的奇函数y＝f（x）在（0，＋∞）上是增加的，且f＝0，则不等式f（logx）>

0的解集为________________．

答案　

解析　由题意知，f＝－f＝0,

f（x）在（－∞，0）上也是增加的．

∴f（logx）＞f或f（logx）＞f，

∴logx＞或－＜logx＜0，

解得0＜x＜或1＜x＜3.

∴原不等式的解集为。

1．函数y＝x2－6x＋10在区间（2，4）上是（）

A．减函数B．增函数

C．先减少再增加D．先增加再减少

答案C

解析　作出函数y＝x2－6x＋10的图像（图略），

根据图像可知函数在（2,4）上是先减少再增加．

2．（2017·

河南中原名校第一次质检）函数y＝（－x2＋x＋6）的递增区间为（）

A.B。

D.

答案　A

解析　由－x2＋x＋6＞0，得－2＜x＜3，故函数的定义域为（－2,3），令t＝－x2＋x＋6，则y＝t,易知其为减函数，由复合函数的性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在（－2,3）上的递减区间．

利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域（－2，3）上的递减区间为，故选A.

3．下列函数中，在区间（－1,1）上为减函数的是（）

A．y＝B．y＝cosx

C．y＝ln（x＋1）D．y＝2－x

答案D

解析　y＝与y＝ln（x＋1）在区间（－1，1）上为增函数;

y＝cosx在区间（－1，1）上不是单调函数；

y＝2－x＝x在（－1，1）上为减函数．

4．已知函数y＝log2（ax－1）在（1，2）上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A．（0，1]B．［1,2］

C．［1，＋∞）D．[2，＋∞）

答案　C

解析　要使y＝log2（ax－1）在（1,2）上是增函数,则a>

0且a－1≥0，即a≥1。

5．（2017·

天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝－f，b＝f,c＝f（20.8）,则a，b，c的大小关系为（）

A．a<

b〈cB．b<

a〈c

C．c<

b<

aD．c〈a<

b

解析　∵f（x）在R上是奇函数,

∴a＝－f＝f＝f（log25）．

又f（x）在R上是增函数，

且log25＞log24.1＞log24＝2＞20。

8,

∴f（log25）＞f（log24