实验三傅里叶变换及其性质Word文档格式.docx
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义为：
F（e）=F[/a）]-E傅里叶反变换定义为：
/（0二FjFS）]二£
匸/'
（劲卩
叫bo
信号的傅里叶变换主要包括MATLAB符号运算和MATLAB数值分析两种方法，下而分别加以探讨。
同时，
学列连续时间借号的频谱图。
3.L1MATLAB符号运算求解法
MATLAB符号数学工具箱提供了宜接求解傅里叶变换口傅里叶反变换的函数fourier0和ifourierOo
Fourier变换的语句格式分为三种•
（1）F=fourier（f）:
它是符号函数f的Fourier变换，默认返回是关于①的函数。
（2）F=fourier（f,v）：
它返回函数F是关于符号对彖v的函数，而不是默认的Q,即二
（3）F=fourier（f・u,v）:
是对关于u的函数f进行变换，返回函数F是关于v的函数，即
傅里叶反变换的语句格式也分为三种。
（1）f=ifourier（F）:
它是符号函数F的Fourier反变换，独立变量默认为Q,默认返回是关于s的函数。
⑵f=ifourier（F,u）:
它返回函数f是u的函数，而不是默认的X。
（3）f=ifourier（F,u,v）:
是对关于v的函数F进行反变换，返回关于u的函数化
式。
3.1.2连续时间信号的频谱图
信号/（〃的傅里叶变换FGy）表达了宿号在6?
处的频谱密度分布情况，这就是信号的傅里叶变换的物理含义。
F（e）-般是复函数，可以表示成F«
y）=F«
y）°
加彳°
F（e）~ey与°
（0）~Q曲线分别称为非周期信号的幅度频谱与相位频谱，它们都是频率①的连续函数，在形状上与相应的周期信号频谱包络线相同。
非周期信号的频谱有两个特点，密度谱和连续谱。
要注意到，采用fourier（）和ifourierO得到的返回函数，仍然是符号表达式。
若需对返回函数作图，则需应用ezplotO绘图命令。
3丄3MATLAB数值计算求解法
fourier（）和ifourier（）函数的一个局限性是，如果返回函数屮有诸如单位冲激函数5（f）等项，贝ij
用ezplot0函数无法作图。
对某些信号求变换时，英返回函数可能包含一些不能直接用符号表达的式子，因此不能对返回函数作图。
此外，在很多实际情况屮，尽管信号/（f）是连续的，但经过抽样所获得的信号则是多组离散的数值量/⑺），丙此无法表示成符号表达式，此时不能应用fourier0函数对f（n）进行处
理，而只能用数值汁算方法来近似求解。
从傅里叶变换〉「义出发有F9）二£
f⑴严g驶X/（泌）厂曲’
—X
当△足够小时，上式的近似情况可以满足实际需要。
对于时限信号/（f）,或者在所研究的时间范围内让
/（0衰减到足够小，从而近似地看成时限信号，则对于上式可以考虑有限n的取值。
假设是因果信号.则
A/-I
F3=\》巳0<
n〈M-1
傅里叶变换后在Q域用MATLAB进行求解，对上式的角频率Q进行离散化。
假设离散化后得到N个样值，即咲氓匕0gN7
M-I
因此有F（k）=辽fg）严*0<
k<
N-\°
采用行向量•用矩阵表示为
/I-0
［F伙）］爲二4/（泌）］爲［不胁JNN。
其要点是要正确生成/（f）的M个样本向量［/（必）］与向量
2■网心当△足够小时，上式的内积运算（即相乘求和运算）结果I!
卩为所求的连续时间信号傅里叶变换
的数值解。
3.2傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质包含了丰富的物理意义，并且揭示了涪号的时域和频域的关系。
熟悉这些性质成为信号分析研究工作中最重要的内容之一。
3.2.1尺度变换特性
傅里叶变换的尺度变换特性为，若/（/）尸©
丿-则有K屮，a为非零实常数。
kd&
3.2.2频移特性
傅里叶变换的频移特性为，若则有/（f）/®
0F9—Q）。
频移技术在通信系统屮
得到广泛应用，诸如调幅变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。
频移的实现原理是将信号/（〃
乘以裁波信号cos®
/或sine/,从而完成频谱的搬移，即
/（f）cosQj〈"
-[F（e+%）+F（QY）]乙
/（Osinqfo扌[F（”+列）一F（ft）Y）]
4.实验内容及结果分析：
4.1试用MATLAB命令求下列信号的傅里叶变换，并绘岀其幅度谱和相位谱。
⑴川）二皿严-》
（2）/；
（0=sin（/rf）,
W-1）
第一题的实验程序代码：
第二题的实验程序代码：
clc;
clear;
Ft二
sym（*sin（2*pi*（t~l）}/（pi*（t-1）D；
Fw二fourier（ft）;
subplot（211）ezplot{abs（Fw））:
gridontitleCip/A度谱J;
phase=atan（imag（Fw）/real（Fw））;
subplot（212）
ezplot{phase）:
gridon
title（喘I位谱'
）；
第一-题实验结果如图1所示，第二题实验结果如图2所
ft二sym（，（sin（pi*t）/（pi*t）厂2'
）;
Fw二
fourier（ft）;
subplot（211）
ezplot（abs（Fw））;
gridontitle厂ip\I，度谱J；
phase=atan（imag（Fw）/real（Fw））:
subplot（212）
ezplot（phase）;
gridontitled计位谱J;
RiaEdkInsertlookDAtelctOpWbodgH«
rb・
OQtimb愆Q窃⑥址
□B■O
Figure1
4.2试用MATLAB命令求下列信号的傅里叶反变换,
t=sym（'
）;
Fw=syTn（，10/{3+i*w）-4/（5+i*w）'
）;
ft二ifoutiet（Fw）;
ezplot（ft）,gridon
第二题的实验程序代码：
4.3试用MATLAB数值计算方法求门信号的傅里叶变换，并画出其频谱图。
实验程序代码：
ftl=
sym（*Heaviside（t+1/2）-Heaviside（t~l/2）'
subplot（121）;
ezplot{ftl,[一1・51.5]Jrgridon
Fwl二simplify（fourier{ftl））;
grid
08
0.6
04
0.2
HeaMside（l+iy2bHea/iside（t-1/2）
实验结果如图5所示：
subplot（211）,plot（t,fl）,gridon;
axis（[-1,1,-0.2,1.2]）;
title{・fl（t）'
xlabel（'
t'
subplot（212）,plot（tt/f）,gridon;
axis（[-2,2,-0.2,1.2]）;
titleCf（t）二fl{t）*f2（t）'
xlabelt'
4.4已知两个门信号的卷枳为三角波信号，试用MATLAB命令验证傅里叶变换的时域卷积泄理。
两个门信号卷积成为三角波信号的实验程序代码:
clc;
dt=0.01;
t二-l;
dt:
2.5;
fl二uCT（t+1/2）-uCT（t-1/2）;
f2=
uCT（t+1/2）-uCT（t-1/2）;
f二conv（f1,f2）*dt;
n=length（f）;
tt=（0:
n-l）*dt-2;
两个门信号卷枳成为三角波信号的实验结果如图6所示:
三角波信号傅里叶变换的实验程序代码：
dt二0.01;
t=-4:
4;
ft二
（t+1）・*uCT（t+l）—2*t・*uCT{t）+{t-1）・*uCT（t-1）；
N=2000;
k二-N：
N；
W二2*pi*k/（（2*N+l）*dt）;
F=dt*ft*eKp（-j*t'
*W）;
plot{K,F）fgridon
axis{[-10*pi10*pi-0.21.2]）;
xlabelCW，Jzylabel「F（W）■）三角波信号傅里叶变换的实验结果力口隊17丘斤未
结果如图8所示。
title（•fl（t）*f2（t）的频谱图’）；
ftl和ft2分别傅里叶变换然后再相乘的代码：
ftl
syni{'
Heaviside{t+1/2）-Heaviside（tT/
2））
Fwl=fourier（ftl）;
ft2
syni{?
Heaviside（t+1/2）-Heaviside（t-l/
Fw2=fourier（ft2）;
Fw=Fwl.*Fw2;
ezplot（Fw,10*pi]）;
gridonaxis（[-10*pi10*pi-0.21.2]）;
ftl和ft2分别傅里叶变换然后再相乘的实验
图7和图8儿乎是一样的，所以傅里叶变换的时域卷积定理是正确的。
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