初中函数相关知识总结.docx
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初中函数相关知识总结
一、函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：
列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：
以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：
按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
二、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果
（k，b是常数，k
0），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数
中的b为0时，
（k为常数，k
0）。
这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数
的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数
的图像是经过原点（0，0）的直线。
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>0
b>0
y
0x
图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。
b<0
y
0x
图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。
K<0
b>0
y
0x
图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小
b<0
y
0x
图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
注：
当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数
有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数
有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式
（k
0）中的常数k。
确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式
（k
0）中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法
三、反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地，函数
（k是常数，k
0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成
的形式。
自变量x的取值范围是x
0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x
0，函数y
0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
反比例函数
k的符号
k>0
k<0
图像
y
Ox
y
Ox
性质
①x的取值范围是x
0，
y的取值范围是y
0；
②当k>0时，函数图像的两个分支分别
在第一、三象限。
在每个象限内，y
随x的增大而减小。
①x的取值范围是x
0，
y的取值范围是y
0；
②当k<0时，函数图像的两个分支分别
在第二、四象限。
在每个象限内，y
随x的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定
确定及诶是的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数
中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图，过反比例函数
图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM
PN=
。
。
四、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果特
，特别注意a不为零
那么y叫做x的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线
与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
五、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
口诀-----一般两根三顶点
（1）一般一般式：
（2）两根当抛物线
与x轴有交点时，即对应二次好方程
有实根
和
存在时，根据二次三项式的分解因式
，二次函数
可转化为两根式
。
如果没有交点，则不能这样表示。
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3）三顶点顶点式：
六、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
时，
。
如果自变量的取值范围是
，那么，首先要看
是否在自变量取值范围
内，若在此范围内，则当x=
时，
；若不在此范围内，则需要考虑函数在
范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当
时，
，当
时，
；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当
时，
，当
时，
。
七、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数
图像
a>0
a<0
y
0x
y
0x
性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=
，顶点坐标是（
，
）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<
时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>
时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x=
时，y有最小值，
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=
，顶点坐标是（
，
）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<
时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>
时，y随x的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当x=
时，y有最大值，
2、二次函数
中，
的含义：
表示开口方向：
>0时，抛物线开口向上
<0时，抛物线开口向下
与对称轴有关：
对称轴为x=
表示抛物线与y轴的交点坐标：
（0，
）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的
，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当
>0时，图像与x轴有两个交点；
当
=0时，图像与x轴有一个交点；
当
<0时，图像与x轴没有交点。
八中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
y
如图：
点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）
则AB间的距离，即线段AB的长度为
A
0x
B
2，二次函数图象的平移
①将抛物线解析式转化成顶点式
，确定其顶点坐标
；
②保持抛物线
的形状不变，将其顶点平移到
处，具体平移方法如下：
③平移规律
在原有函数的基础上“
值正右移，负左移；
值正上移，负下移”．
函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
特别记忆--同左上加异右下减（必须理解记忆）
说明①函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右
②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减
3、直线斜率：
b为直线在y轴上的截距4、直线方程：
4、①两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:
此公式有多种变形牢记
②点斜
③斜截直线的斜截式方程，简称斜截式:
y＝kx＋b（k≠0）
截距由直线在
轴和
轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：
牢记口诀---两点斜截距--两点点斜斜截截距
5、设两条直线分别为，
：
：
若
，则有
且
。
若
6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b（即：
kx-y+b=0）的距离:
7、抛物线
中，abc,的作用
（1）
决定开口方向及开口大小，这与
中的
完全一样.
（2）
和
共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线
的对称轴是直线
，故：
①
时，对称轴为
轴；②
（即
、
同号）时，对称轴在
轴左侧；③
（即
、
异号）时，对称轴在
轴右侧.口诀---同左异右
（3）
的大小决定抛物线
与
轴交点的位置.
当
时，
，∴抛物线
与
轴有且只有一个交点（0，
）：
①
，抛物线经过原点;
②
与
轴交于正半轴；
③
与
轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在
轴右侧，则
.
九，中考点击
考点分析：
内容
要求
1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点
Ⅰ
2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系
Ⅰ
3、一次函数的概念和图像
Ⅰ
4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图
Ⅱ
5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用
Ⅱ
6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题
Ⅱ
命题预测：
函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：
能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题．会求一元二次方程的近似值．
分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计20XX年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和
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