最新华约自主招生数学试题及答案解析完整版.docx

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最新华约自主招生数学试题及答案解析完整版

2010年“华约”自主招生试题解析

一、选择题

1．设复数

，其中

为实数，若

的实部为2，则

的虚部为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

2．设向量

，满足

，则

的最小值为（）

（A）2（B）

（C）1（D）

3。

缺

4。

缺

5．在

中，三边长

，满足

，则

的值为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

6．如图，

的两条高线

交于

，其外接圆圆心为

，过

作

垂直

于

，

与

相交于

，则

与

面积之比为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

7．设

．过点

且平行于

轴的直线与曲线

的交点为

，曲线

过点

的切线交

轴于点

，则

的面积的最小值是（）

（A）1（B）

（C）

（D）

8．设双曲线

，椭圆

．若

的短轴长与

的实轴长的比值等于

的离心率，则

在

的一条准线上截得线段的长为（）

（A）

（B）2（C）

（D）4

9．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为

种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则

的最小值为（）

（A）6（B）7（C）8（D）9

10．设定点

是以

点为中心的正四面体的顶点，用

表示空间以直线

为轴满足条件

的旋转，用

表示空间关于

所在平面的镜面反射，设

为过

中点与

中点的直线，用

表示空间以

为轴的180°旋转．设

表示变换的复合，先作

，再作

。

则

可以表示为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

二、解答题

11．

在

中，已知

，外接圆半径

．

（Ⅰ）求角

的大小；

（Ⅱ）求

面积的最大值．

12．

设

为抛物线

上不同的四点，

关于该抛物线的对称轴对称，

平行于该抛物线在点

处的切线

．设

到直线

，直线

的距离分别为

，已知

．

（Ⅰ）判断

是锐角三角形

直角三角形

钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；

（Ⅱ）若

的面积为240，求点

的坐标及直线

的方程．

13．

（Ⅰ）正四棱锥的体积

，求正四棱锥的表面积的最小值；

（Ⅱ）一般地，设正

棱锥的体积

为定值，试给出不依赖于

的一个充分必要条件，使得正

棱锥的表面积取得最小值．

14．

假定亲本总体中三种基因型式：

的比例为

且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个．

（Ⅰ）求子一代中，三种基因型式的比例；

（Ⅱ）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？

并说明理由．

15．

设函数

，且存在函数

，满足

．

（Ⅰ）证明：

存在函数

满足

；

（Ⅱ）设

证明：

．

2010年五校合作自主选拔通用基础测试数学参考答案

一、选择题

ADCABDBD

二、解答题

11．解：

（Ⅰ）由

得

所以

即

因为

为

内角

所

，

，

（Ⅱ）

又由余弦定理得

，

即

又

，

所以

有

，

当且仅当

即

为等边三角形时，

的面积取得最大值

12．解：

（Ⅰ）设

则

由

可知的斜率

因此可以设直线

方程为

把

代入，整理得

所以

因为

都不平行于

轴，

所以直线

斜率之和为

可知直线

的倾角互补，而

平行于

轴，

所以

平分

作

为垂足

则

可得

由已知

，

可得

，所以

所以

为直角三角形

（Ⅱ）如图，根据的结果，可以设直线的方程分别为

把

分别代入，得

所以

由已知可知

，

所以

解得

，

所以

或

当取

时，求得

，又

斜率

，

所以直线

方程为

即

同理，当取

时，直线

方程为

13．解：

（Ⅰ）设正四棱锥的底面正方形的边长为

，高为

．则正四棱锥的体积

正四棱锥的表面积

从而

令

设

则

令

解得

当

时，

当

时，

当

时取得最小值

正四棱锥的表面积的最小值为4.

（Ⅱ）一般地，设正

棱锥的底面正

边形的中心到各边的距离为

，高为

，则

正边形的体积

正棱锥的表面积

由（Ⅰ）知，当时，正棱锥的表面积取得最小值。

由于正棱锥的表面积与底面机之比为

可知使正棱锥的表面积取得最小值得一个充分必要条件是正棱锥的表面积是地面积的4倍。

解：

（Ⅰ）参与交配的两个亲本（一个称为父本，一个称为母本）的基因型式的情况，及相应情况发生的概率和相应情况下子一代的基因型式为

，

，

的概率如下表：

父本、母本的基因型式

相应情况

出现的概率

子一代基因

为

的概率

子一代基因

为

的概率

子一代基因

为

的概率

父

母

父

母

父

母

父

母

父

母

父

母

父

母

父

母

父

母

子一代的基因型式为

的概率为

.

由对称性知子一代的基因型式为

的概率为

.

子一代的基因型式为

的概率为

若记

，

，则

，

，

，子一代三种基因型式：

，

，

的比例为

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知子二代的基因型式为

，

，

的比例为

，其中

，

.

由

，可得

，

.

故子二代三种基因型式

，

，

的比例为

，与子一代基因型式的比例相同.

15解法一：

（Ⅰ）令

，代入

化简得

由于等式对所有

成立，可知

解得

令

，代入

，化简得

所以存在

使得

（Ⅱ）令

注意到

，由（Ⅰ）知，

化为

可知

从而

统一写为

从而有

解法二：

（Ⅰ）同解法一，可求出

取

则

所以

（Ⅱ）由

，

得

（1）

把

（1）式两边都加上2得：

（2）

把

（1）式两边都减去2得：

（3）

若存在

，使

，由（3）可知

与

矛盾

所以不存在

，使

（2）式除以（3）式得

因为

所以

所以

所以

所以

解法三：

（Ⅰ）由解法一得

，

由

（1）

易看出

（1）式中

即得

所以存在

，即

（Ⅱ）用数学归纳法

（1）当

时，显然成立

（2）易得

，

（※）

假设当

时，命题成立

即

则当

时，

当

时，

当

时，

只需证

即证

即证

即证

即证

即

，而此式是假设成立的

所以

（2）成立

由

（1），

（2）可知，原命题成立

2011年“华约”自主招生试题解析

一、选择题

1.设复数z满足|z|<1且

则|z|＝（）

解：

由

得

，已经转化为一个实数的方程.解得|z|＝2（舍去），

.

2.在正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为

.则异面直线DM与AN所成角的余弦为（）

[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素.本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等.然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起.

解法一：

如图1，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为

得高为

.如图建立坐标系，则A（1，－1，0），B（1，1，0），C（－1，1，0），D（－1，－1，0），P（0，0，

），则

，

.设所成的角为θ，则

.

解法二：

如图2，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为

得高为

.平移DM与AN在一起.即M移到N，D移到CD的中点Q.于是QN＝DM＝AN.而PA＝PB＝AB＝2，所以QN＝AN＝

，而AQ＝

，容易算出等腰ΔAQN的顶角

.

解法三：

也可以平移AN与DM在一起.即A移到M，N移到PN的中点Q.以下略.

3.已知

，过点（－1,1）的直线l与该函数图象相切，且（－1,1）不是切点，则直线l的斜率为（）

解：

显然（－1,1）在

的图象上.设切点为

，

，所以

.另一方面，

.所以x0＝1,所以

.选C.

4.若

的最小值和最大值分别为（）

[分析]首先尽可能化简结论中的表达式

，沿着两个方向：

①降次：

把三角函数的平方去掉；②去角：

原来含两个角，去掉一个.

解：

，可见答案是B

[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱.我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：

ΔOO1O2边O1O2上一点C，OO1、OO2延长线上分别一点A、B，使得O1A＝O1C，O2B＝O2C.

解法一：

连接

，C在

上，则

，

，

，故

，

，

.

解法二：

对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则

，

，

，

.

6.已知异面直线a，b成60°角.A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面（）

A.有且只有一个B.有且只有两个C.有且只有三个D.有且只有四个

[分析]已知平面过A，再知道它的方向，就可以确定该平面了.因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系.于是原题简化为：

已知两条相交直线a，b成60°角，求空间中过交点与a，b都成45°角的直线.答案是4个.

7.已知向量

则

的最小值为（）

解：

由

得

由于

，

可以用换元法的思想，看成关于x，y+z，y－z三个变量，变形

，代入

，答案B

8.AB为过抛物线y2＝4x焦点F的弦，O为坐标原点，且

，C为抛物线准线与x轴的交点，则

的正切值为（）

解法一：

焦点F（1，0），C（－1，0），AB方程y＝x–1，与抛物线方程y2＝4x联立，解得

，于是

，

，答案A

解法二：

如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：

在直角梯形ABCD中，∠BAD＝45°，EF∥DA，EF＝2，AF＝AD，BF＝BC，求∠AEB.

.类似的，有

，

，答案A

解：

，

，

，于是

.

将

，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值必须

，于是

，解这个一元函数的极值问题，

时取极大值

.

10.将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（）

A.存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形

B.存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形

C.存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形

D.任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形

解：

我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形.如图，假设ΔABC是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF（不妨设在AC的另一边）的（其中的边EF有可能与AC重合）的∠D一定是钝角.事实上，∠D≥∠ADC，而四边形ABC