第10讲胡不归最值模型原卷版Word下载.docx

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⋯”（“胡”同“何”）

【模型建立】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<

V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使ACBC的值最小．

V2V1

AC

V2

问题分析】

V1=V1BCV2AC，记kV2，即求BC+kAC的最小值．

【问题解决】

CH

构造射线AD使得sin∠DAN=k，即k，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小

值，即BC+kAC最小．

B

N

【模型总结】

PA+PC”

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．

探究重点

5

BD

典题探究启迪思维

例题1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD

的最小值是．

变式练习>

>

PD的最

1．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°

，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB

2小值等于．

例题2.如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°

，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的

最小值为（）

2．如图，△ABC中，∠BAC＝30°

且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝．

例题3.等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC

边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为．

3．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，

则点D的坐标应为（

4．如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x轴交于点C；

直线l2：

y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D．

（1）填空：

点A的坐标为，点B的坐标为；

（2）直线l1的表达式为；

（3）在直线l1上是否存在点E，使S△AOE＝2S△ABO？

若存在，则求出点E的坐标；

若不存在，说明理由．

（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．

例题5.已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．

（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；

（2）若在

（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；

（3）在

（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

2

5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（﹣8，0），交y轴于点C，过点A、B、

C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D．

（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；

（2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：

AP?

AN是否为定值，若是，请求出这个值；

若不是，请说明理由；

（3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q

从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

达标检测领悟提升强化落实

1.如图，在平面直角坐标系中，点A3,3，点P为x轴上的一个动点，当AP12OP最小时，点P的坐

标为.

且∠ABC=60°

，点M为对角线BD（不含点B）上的一动点，则

3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，

0），其对称轴与x轴交于点D．

1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为

4.【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD距离为AB的长度，

到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，【特例分析】若n＝2，则时间t＝+，当a为定值时，问题转化为：

的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°

．

；

（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′．

（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：

DE＝

问题解决】

（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题．（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）

【综合运用】

（4）如图③，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最

5.如图，△ABC是等边三角形．

（1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；

（2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：

以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；

（3）在

（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．

6.如图，已知抛物线y＝

x+2）（x﹣4）（k为常数，且k>

0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与

y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．

（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

（3）在

（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F

7.已如二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

（1）如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合）过P作PQ∥x轴交直线BC于Q，求线

段PQ的最大值；

G的坐标；

2）如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点

AM，MN，求AM+MN

（3）如图3，在

（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接的最小值．

8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，∠B＝30°

，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，

9.

FB的最小值是（

过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+

P是直

线段

O1

10.抛物线y6x223x6与

x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点

63

线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；

将线段OB沿x轴左右平移，

1

OB的对应线段是O1B1，当PE1EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点

的坐标．