数学建模最小二乘拟合实验Word下载.docx
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相信大多数人都觉的很梦幻很不科学，但事实就是这样的令人惊讶。
搜狐娱乐曾经报道过，有《越狱》粉丝不相信这一情节，在现实生活中进行实验，结果真的重现了“胡克定律”凿墙这一情节。
胡克定律的表达式为F=k·
x或△F=k·
Δx，其中k是常数，是物体的劲度（倔强）系数。
在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛/米。
倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。
弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。
在现代，仍然是物理学的重要基本理论。
胡克的弹性定律指出：
弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F=-k·
x。
k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。
但当我们进行多次实验，便会发现随着F的逐步增大，便不再服从胡克定律。
为此我们应当运用插值与拟合的容，探索更加准确的公式。
一、建模问题
1.问题提出
1.1问题背景
弹簧在压力F的作用下伸长x，一定围服从胡克定理：
F与x成正比，即F=kx。
现在得到下面一组F，x数据，并在（x，F）坐标下作图，可以看到当F大到一定数据值后，就不服从这个定律了。
表1-1
X
1
2
4
7
9
12
13
15
17
F
1.5
3.9
6.6
11.7
15.6
18.8
19.6
20.6
21.1
1.2问题提出
试根据上述所给出的数据及已知的胡克公式，解决一下问题：
（1）试由数据确定k
（2）给出不服从胡克定理时的近似公式
1.3问题分析
这是一道关于弹簧劲度系数的问题，对于此类建模有实际的价值，而且也可以让我们拓宽物理学习的视野，很有价值。
二、模型假设
通过阅读题目与查阅资料，我们可以发现，F的值是随着X的改变而改变的，当X小于某一值时，F遵循胡克定律，而当X大于某一值时，F便不再遵循胡克定律，故我们可以提出以下假设。
假设1：
当X<
9时，F遵循胡克定律。
假设2：
当X>
9时，F不遵循胡克定律。
三、模型建立
已知胡克定律为：
F=KX，但通过简单的计算题目中所给的数据，便会发现K的值并非固定值，我们可假设F=KX中还有第三个未知量S。
故建立模型公式：
F=KX+S
运用数学建模与数学实验（第四版）7.4.1线性最小二乘拟合容，在matlab程序上可进行求解。
四、符号说明
表4-1
符号名称
符号含义
f
弹簧受到的压力数值
k
弹簧的弹劲系数
x
弹簧增加的距离
S
胡克定律中的未知数值
五、模型求解
解：
输入以下程序：
x=[01247912131517];
f=[01.53.96.611.715.618.819.620.621.1];
k=f/x
可得结果：
k=
1.4377
（2）给出不服从胡克定理时的近似公式：
a=polyfit（x,f,1）
z=polyval（a,x）;
plot（x,f,'
k+'
x,z,'
r'
）
运行结果：
a=
1.33401.2678
可得图5-2-1：
图5-2-1
通过图5-2-1，可以看到当弹簧伸长10个单位长度后，拟合的情况并不好，偏差较多，且用计算结果得出的公式F=1.3340X+1.2678与胡克定律也相差甚远，故可以根据图5-1，将十个数据分为两组来进行验算。
先取前六个数据的值进行线性拟合：
输入程序：
x=[012479];
f=[01.53.96.611.715.6];
1.70850.0008
可得图5-2-2：
图5-2-2
通过图5-2-2，可以看到拟合良好，且0.008可以忽略不计，故可以用F=1.7085X来表示力和弹簧伸长的关系，该公式较符合胡克定律。
接下来对后面的四个数据进行二次拟合来观察效果：
输入程序:
x=[12131517];
f=[18.819.620.621.1];
a=polyfit（x,f,2）
-0.07322.5790-1.5834
可得图5-2-3：
图5-2-3
通过图5-2-3可以看出，当才用后四个数据来进行拟合时，拟合情况较为准确，可以接受，近似公式为F=-0.0732+2.5790X-1.5834
六、结果分析
通过运用matlab分别进行三次拟合，可以发现三次拟合的结果大不相同。
第一次将所有数据进行拟合，拟合的情况并不好，偏差较多，得出的公式与胡克定律也相差甚远；
第二次按照模型假设，只采用[012479]这六个数据进行拟合，拟合情况较为良好，所得到的公式也极为接近胡克定律；
第三次同样按照模型假设，采用[12131517]这四个数据进行拟合，拟合情况同样良好，且所得公式也符合我们的模型假设。
综合三次拟合，现在可以解答第二步所建立的模型假设。
假设1结果：
9时，F遵循胡克定律，其公式为F=1.7085X
假设2结果：
9时，F不遵循胡克定律，其近似公式为近似公式为F=-0.0732+2.5790X-1.5834
七、实验心得
在进行建模和仿真分析时，人们经常面临用已知系统实测数据应用数学模型描述对应系统，即对数据进行拟合。
拟合的目的是寻找给定的曲线（直线），它在某种准则下最佳的拟合数据。
常用的拟合方法之一是多项式的最小二乘拟合，其准则是最小误差平方和准则，所用的拟合曲线为多项式。
在本次建模实验中，我们所用到的方法就是是线性最小二乘拟合，通过这次实验，使得我掌握了用线性最小二乘拟合建立回归数学模型（包括参数估计和模型建立），并通过几个数据拟合的回归分析来判断曲线（直线）拟合的精度，判断模型建立是否正确。
八、参考文献
类别
著录项目
专著
数学建模与数学实验/静，但琦主编.—4版—：
高等教育，2014.8
九、附录
附录A：
其实除我们所熟知的F=KX这一简单的胡克定律，还有一个广义的胡克定律，其容为：
在材料的线弹性围（见下图的材料应力应变曲线的比例极限围），固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；
也可表述为：
在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变ε成正比，即σ=Εε，式中E为常数，称为弹性模量或氏模量。
把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。
图A1
附录B：
各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：
图B1
式中σij为应力分量；
εij为应变分量（i，j=1，2，3）；
λ和G为拉梅常量，G又称剪切模量。
这些关系也可写为：
图B2
E为弹性模量（或氏模量）；
v为泊松比。
λ、G、E和v之间存在下列联系：
图B3
式
（1）适用于已知应变求应力的问题，式
（2）适用于已知应力求应变的问题。
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