初三培优 圆与旋转Word格式.docx
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（1）求证：
△APC是等边三角形；
（2）当时，求B点和C点的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPC的面积为？
若存在，请求出符合条件的P点坐标；
（第22题）
1．
（1）当∠POA＝90°
时，点P运动的路程为⊙O周长的或，
当路程为⊙O周长的时，路程的长=，
∴点P的运动时间=
（2）当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切
∵点P运动的时间为2s时，点P的运动路程为4πcm，设这时的圆心角为n°
，得，
∴∠POA＝n＝60°
∵OP＝OA
∴△OAP是等边三角形
∴OP=OA=AP，∠OAP＝60°
∴∠ABP＝∠APB＝30°
∴∠OPB＝∠OPB+∠APB＝90°
∴PB是⊙O的切线。
2．解：
（1）30°
，（0，2）；
（2）如图，连结、、，过作
于点，，，
∴，∴⊙平移的距离为（单
位长度），∴平移的时间为秒.又∵，
，∴，∴直线平移的
距离为，∴直线平移的速度为
（单位长度/秒）；
（3）∵，，∴.∵四边形为矩形，∴，∴，∴
3、证明：
（1）∵∠BAC＝∠PAD＝90°
∴∠BAP＝∠CAD．
∵AB＝AC，AP＝AD,∴△ABP≌△ACD．------------------------------3分
（2）CD⊥BC．--------------------------------------------------------4分
∵∠BAC＝∠PAD＝90°
∵AB＝AC，AP＝AD,∴△ABP≌△ACD．∴∠APB＝∠ADC．
∵∠1＝∠2,∠1+∠ADC＝90°
，∴∠2+∠APB＝90°
．
∴CD⊥BC．--------------------------------------------------------8分
（3）第一种情况：
点P在线段BC上，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°
∵△ABP≌△ACD，∴BP＝CD,∠B＝∠ACD＝45°
．
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°
设BP＝，则PC＝，CD＝
∵，∴，
解得：
，．
∴存在点P，使△CPD的面积为1，这时BP＝1或BP＝2．------------------11分
第二种情况：
点P在线段BC延长线上．
∵△ABP≌△ACD，∴BP＝CD．
∵CD⊥BC,设BP＝，则PC＝，CD＝．
∵，∴，
，（舍去）．----------------------------14分
∴存在点P，使△CPD的面积为1，这时BP＝．
.
4．解：
（1）由已知△ABC≌△AOPB，…………………………………………1分
∴AC=AP，∠CAB＝∠PAO,∴∠CAP＝∠BAO＝60°
∴△APC是等边三角形；
………………………………………………3分
（2）过B点作BD⊥y轴，BE⊥x轴，
∵△AOB是边长为4的等边三角形，
∴OD=2，在Rt△OBD中，BD==，
∴B点坐标为（，2），………………5分
过C点作CH⊥x轴，延长DB交CH于F点，
∵∠DBA=30°
，∠ABC=90°
，
∴∠CBF=180°
－90°
－30°
=60°
，∴∠BCF=30°
，…………………6分
在Rt△BCF中，BC=OP=，
∴BF=，CF=…………………………7分
∴DF=+，CH=，∴C点坐标为（+，）．
（3）设存在点P，使△OPC的面积为，此时OP=，则BC=，
与
（2）同理可得BF=，CF=，∴C点坐标为（+，+2）；
由已知可得×
（+2）=………………………………………11分
整理得：
，∴，…13分
∴，（不合，舍去）．
∴符合条件的P点坐标为（，0）．…………………………14分
初三数学第一学期培优卷----旋转与圆
（2）
1、如图，已知的直径AB=6，P是AB延长线上的一个动点（与B点不重合）．
（1）如图①，当OP=5，且⊙P与相切时，求⊙P的半径；
（2）如图②，C为⊙O上一点，且AC=．
①当CP=AC时，求证：
PC是⊙O的切线；
②讨论以CP为半径的⊙C与⊙O的位置关系，并写出相应的CP的取值范围．
（第21题）
2．如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°
，∠ABC=30°
，BC=12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．
（1）当t为何值时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？
（2）当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．
3.（13分）把三角板ABC和DEF按如图①摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°
，∠B=60°
，∠DEF=45°
，BC=6cm，．
如图②，△DEF从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．
（1）用含t的代数式表示线段AP和线段AQ；
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为（cm2），求与t之间的函数关系式；
是否存在t，使面积最小？
若存在，求出的最小值；
若不存在，说明理由；
（3）是否存在t，使△APQ为等腰三角形？
若存在，求出t的值；
若不存在，说明理由．
A
P
B
D
Q
E
C
F
C（E）
4.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º
，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；
若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问
（1）中的结论是否仍然成立？
通过观察你还能得出什么结论？
（均不要求证明）
1．
（1）①当⊙P与⊙O外切于B点时，BP=OP－OB=5－3=2，
即⊙P的半径为2；
…………………………………………2分
②当⊙P与⊙O内切于A点时，AP=OP+OA=5+3=8，
即⊙P的半径为8.………………………………………4分
（2）连接CO，CB，∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°
，……………………6分
在Rt△ACB中，AC＝，AB=6，
∴BC==3，
∴OC=OB=BC，
∴△OBC是等边三角形，……………8分
∴∠1=∠2=60°
∵OA=OC，∴∠A=∠3=30°
∵CP=AC，∴∠P=∠A=30°
∴∠OCP=180°
-∠1-∠P=90°
即OC⊥CP，
∴PC是⊙O的切线；
…………………………………………11分
（3）∵P是AB延长线上的一个动点（与B点不重合），CB=3，
∴⊙C与⊙O的位置关系有如下三种情况：
①当3﹤CP﹤6时，⊙C与⊙O相交；
……………………………12分
②CP=6时，⊙C与⊙O内切；
………………………………………………13分
③CP﹥6时，⊙C与⊙O内含；
⊙C与⊙O不可能外切与外离.……………………………………14分
2．解：
（1）∵DE=12cm，∴OE=6cm
∵OC=8cm，∴EC=2cm
第一种情况：
如图24-1，当半圆O的右侧与AC边相切时，半圆O运动的路程＝2cm，
∴t＝2÷
2＝1s
如图24-2当半圆O的右侧与AB边相切时，设切点为P，
这时OP⊥AB，OP＝6cm，
∵∠ABC=30°
，∴OB＝2OP＝12cm,
∵BC=12cm,
∴点O与点C重合，半圆O运动的路程＝8cm
∴t＝8÷
2＝4s
第三种情况：
如图24-3当半圆O的左侧与AC边相切时，半圆O运动的路程＝8＋6=14cm，
∴t＝14÷
2＝7s
第四种情况：
如图24-4当半圆O所在的圆与AB所在的直线相切时，设切点为M，
这时切点M在AB的延长线上，OM⊥AB，OM＝6cm，
∵∠OBM＝∠ABC=30°
∴OB＝2OM＝12cm,
这时半圆O运动的路程＝8＋12＋1232cm
∴t＝32÷
2＝16s
∴当t为1s或4s或7s或12s时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切
（2）第一种情况：
如图24-5，重叠部分的面积=cm2
如图24-6，扇形CON的面积＝cm2
∵OB＝6cm，∠OBN=30°
∴OF＝3cm,BF＝cm,
∴BN＝cm
三角形BON的面积＝cm2，
∴重叠部分的面积=cm2
3．解：
（1）∵∠B=60°
，∠ACB=90°
BC=6，
∴AB=12，AP=12-2t-------------------------------------1分
∵∠DEF=45°
∴CE=CQ=t.----------------------------------------2分
∵,
∴-------------------------------------3分
（2）过P作，交BE于M，∴.
∵∠B＝
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