步步高高中数学北师大版必修5练习第三章 不等式 单元检测B含答案解析文档格式.docx

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C．M<

ND．M≤N

4．不等式x2－ax－12a2<

0（其中a<

0）的解集为（　　）

A．（－3a,4a）B．（4a，－3a）

C．（－3,4）D．（2a,6a）

5．已知a，b∈R，且a>

b，则下列不等式中恒成立的是（　　）

A．a2>

b2B．（）a<

（）b

C．lg（a－b）>

0D.>

1

6．当x>

1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，2]B．[2，＋∞）

C．[3，＋∞）D．（－∞，3]

7．已知函数f（x）＝，则不等式f（x）≥x2的解集是（　　）

A．[－1,1]B．[－2,2]

C．[－2,1]D．[－1,2]

8．若a>

0，b>

0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是（　　）

A.>

B.＋≤1

C.≥2D.≤

9．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝|x＋3y|的最大值为（　　）

A．4B．6

C．8D．10

10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（　　）

A．甲先到教室B．乙先到教室

C．两人同时到教室D．谁先到教室不确定

11．设M＝，且a＋b＋c＝1（其中a，b，c为正实数），则M的取值范围是（　　）

A.B.

C．[1,8）D．[8，＋∞）

12．函数f（x）＝x2－2x＋，x∈（0,3），则（　　）

A．f（x）有最大值B．f（x）有最小值－1

C．f（x）有最大值1D．f（x）有最小值1

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知t>

0，则函数y＝的最小值为________________________________．

14．对任意实数x，不等式（a－2）x2－2（a－2）x－4<

0恒成立，则实数a的取值范围是________．

15．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．

16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）已知a>

0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小．

18．（12分）已知a，b，c∈（0，＋∞）．

求证：

（）·

（）≤.

19．（12分）若a<

1，解关于x的不等式>

1.

20．（12分）求函数y＝的最大值．

21．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．

（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？

（2）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？

并求出最小值．

22．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如表所示：

资源

量

耗

消

品

产

甲产品

（每吨）

乙产品

资源限额

（每天）

煤（t）

9

4

360

电力（kw·

h）

5

200

劳动力（个）

3

10

300

利润（万元）

6

12

问：

每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？

第三章　不等式（B）

答案

1．D　[∵a<

0，∴ab>

0，ab2<

0.

∴ab>

a，ab>

ab2.

∵a－ab2＝a（1－b2）＝a（1＋b）（1－b）<

0，

∴a<

ab2.∴a<

ab2<

ab.]

2．C

3．A　[∵M－N＝2a（a－2）－（a＋1）（a－3）

＝（2a2－4a）－（a2－2a－3）＝a2－2a＋3

＝（a－1）2＋2>

0.∴M>

N.]

4．B　[∵x2－ax－12a2<

0（a<

0）（x－4a）（x＋3a）<

04a<

x<

－3a.]

5．B　[取a＝0，b＝－1，否定A、C、D选项．故选B.]

6．D　[∵x>

1，∴x＋＝（x－1）＋＋1≥2＋1＝3.∴a≤3.]

7．A　[f（x）≥x2或

或

－1≤x≤0或0<

x≤1

－1≤x≤1.]

8．D　[取a＝1，b＝3，可验证A、B、C均不正确，故选D.]

9．C　[可行域如阴影，当直线u＝x＋3y过A（－2，－2）时，u有最小值（－2）＋（－2）×

3＝－8；

过B（，）时，u有最大值＋3×

＝.

∴u＝x＋3y∈[－8，]．∴z＝|u|＝|x＋3y|∈[0,8]．故选C.]

10．B　[设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝＋＝＋＝s×

，ta＋tb＝s2t＝，

∴T－2t＝－＝s×

＝>

0，故选B.]

11．D　[M＝＝

＝·

·

≥2·

2·

2＝8.

∴M≥8，当a＝b＝c＝时取“＝”．]

12．D　[∵x∈（0,3），∴x－1∈（－1,2），

∴（x－1）2∈[0,4），

∴f（x）＝（x－1）2＋－1≥2－1＝2－1＝1.

当且仅当（x－1）2＝，且x∈（0,3），

即x＝2时取等号，∴当x＝2时，函数f（x）有最小值1.]

13．－2

解析　∵t>

0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2.

14．－2<

a≤2

解析　当a＝2时，－4<

0恒成立，∴a＝2符合．

当a－2≠0时，则a应满足：

解得－2<

a<

2.

综上所述，－2<

a≤2.

15．5≤a<

7

解析　先画出x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的区域，再确定y≥a表示的区域．

由图知：

5≤a<

7.

16．20

解析　该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为（·

4＋4x）万元，·

4＋4x≥160，当＝4x即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．

17．解　∵（＋）－（a＋b）＝－b＋－a＝＋＝（a2－b2）（－）

＝（a2－b2）＝

又∵a>

0，a≠b，

∴（a－b）2>

0，a－b>

0，ab>

∴（＋）－（a＋b）>

∴＋>

a＋b.

18．证明　∵a，b，c∈（0，＋∞），

∴a＋b≥2>

0，b＋c≥2>

c＋a≥2>

∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥8abc>

∴≤

即（）·

当且仅当a＝b＝c时，取到“＝”．

19．解　不等式>

1可化为>

∵a<

1，∴a－1<

故原不等式可化为<

故当0<

1时，原不等式的解集为{x|2<

}，

当a<

0时，原不等式的解集为{x|<

2}．

当a＝0时，原不等式的解集为．

20．解　设t＝，从而x＝t2－2（t≥0），则y＝.

当t＝0时，y＝0；

当t>

0时，y＝≤＝.

当且仅当2t＝，即t＝时等号成立．

即当x＝－时，ymax＝.

21．解　

（1）设DN的长为x（x>

0）米，则AN＝（x＋2）米

∵＝，∴AM＝，

∴SAMPN＝AN·

AM＝，

由SAMPN>

32，得>

32.

又x>

0，得3x2－20x＋12>

解得：

0<

或x>

6，

即DN长的取值范围是（0，）∪（6，＋∞）．

（2）矩形花坛AMPN的面积为

y＝＝＝3x＋＋12≥2＋12＝24，

当且仅当3x＝，即x＝2时，

矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.

故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．

22．解　设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元．

依题意可得约束条件：

作出可行域如图.

利润目标函数z＝6x＋12y，

由几何意义知，当直线l：

z＝6x＋12y经过可行域上的点M时，z＝6x＋12y取最大值．解方程组，

得x＝20，y＝24，即M（20,24）．

答　生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．