设a1工0,并且注意到
由矩阵特征值定义知AXmiX（i=1,2,…,n>,故
Zk二AkZ^：
1AkX^：
2AkX2nAkXn
「T；X1*〉2'；X2-:
'n'nXn
同理有
将<8.3）与<8.4）所得乙及Zk-1地第j个分量相除
|入i|<|入1|（i=1,2,
…,n>得RTCrpUDGiT
定理8•1地证明过程实际上是给出了矩阵地按模最大特征值地计算方法:
1）先任取一非零向量Z0,一般可取Zo=（1,1,1>T；
2）按<8.2）式计算乙=AZ-i（k=1,2,…>;
3）当K足够大时,即可求出詔;=6为了减少"1对于所选地第j个分
量地依赖性，还可用各个分量比地平均值来代替，即
关于对应于入1地特征向量地计算：
由<8.1）知，当k充分大时,Zk=入1Zk-1,又由迭代式Zk=AZk-1,可知AZk-1=入1Zk-1故由特征值定义知Zk-1即为入1对应地特征向量，或Zk=入1Zk-1为入1对应地特征向
量.5PCzVD7HxA
这种求矩阵地按模最大特征值及其对应特征向量地方法称为乘幕法.
应用乘幕法计算A地按模最大特征值入1和对应特征向量时，由<8.3）易知
Zk=*
-n
厲入+送码
Jy
1
Xi
i2
当|入1|>1或|入1|<1时,Zk中不为零地分量将会随K地增大而无限增大，或随K地「
增大而趋于零，用计算机计算就会出现“上溢”或“下溢”.为了克服这个缺点，一」无穷
常将迭代向量乙先规范化，然后再计算，具体做法是:
jLBHrnAILg一，一
用max（Z>S示向量Zk地绝对值最大地分量，任取一初始向量Zo=a1X1+a汎+…+
anX^Va1工0）构造与<8.2）对应地向量序列.xHAQX74J0X
Z1
AZo
由<8.3）可知
Yk=maZk
AkZomaxAkZomax
n
:
X亠
11ji
i=2
Xi
n
M•ri
i-2
Xi
丿丿
（ktmaxXi
<8.7
由<8.3）和<8.6）
max
max
AkZ
max
AZ
max
max
〉1X1—二
（A〜Z°）丿
爲」max«1X1+工
-i
-i
Xi
maxAk」Z0
Xi
<8.8）
-2
也就是说,在满足定理地条件下，规范化地向量序列Yk仍收敛到A地按模最大特征值对应地特征向量；而向量序列乙地绝对值最大地分量收敛到A地按模最大地特征值入1.LDAYtRyKfE
例8•1用规范化地乘幕法求矩阵
1336135
A=44546
-88-6-90
按模最大地特征值入1和对应地特征向量X1.
解：
取初始向量Z°=Y0=（1,1,1>T,按（8.6>、（8.7>和（8.8>算得Zk、Yk和max（Z>,结
果列于下表8—1.Zzz6ZB2Ltk
表8—1
K
Zk
max（Z>
0
1
1
1
1
1
1
1
274
95
-184
1
0.34672
-
2
44.42377
14.8432
-
1
0.33413
0.67153
44.42377
3
44.92333
14.97623
29.64262
1
0.33337
-
44.92333
4
44.99572
14.99865
-
1
0.33334
0.66727
44.99572
5
44.99959
14.99988
29.95048
1
0.33333
-
44.99953
6
44.99953
14.99983
-
1
0.33333
0.66670
44.99953
7
44.99953
14.99983
29.99722
1
0.33333
0.66667
44.99953
29.99974
0.66667
29.99968
0.66667
29.99968
0.66667
经七次选代计算,入1地近似值max0>已稳定到小数点后第五位,故可取A地按模最大地特征值及对应地特征向量分别为dvzfvkwMI1
入1=44.9995,X=（1,0.333,-0.6667>T
我们不难求出矩阵A地三个特征值是
相应地特征向量为:
入1=45,入2=2,入3=1
注:
<1）若矩阵Anxn地按模最大特征值入1是P重根时,即
|入l|=|入2〔=…=|入p|>|入p+11》|入n|
容易证明定理1地结论仍成立.
<2）此外,定理1中要求初始向量Zo地a厲0是必要地,否则就不能得到对应于入1地结果.如在例1中若取Zo=（1,1,-1>T,由此出发迭代便得rqyn14ZNXI
入1=2,X1=（1,0.6667,-1>t
显然,这不是矩阵A地按模最大地特征值和对应地特征向量，出现这一现象，正是由于a1=0.事实上，由于A地特征向量X1,X2,X3是线性无关地，故Z0=（1,1,-1>T可表示为EmxvxOtOco
Z0=a1X1+a2X2+a3X3
即
3%+3a2+2oc3=1
<%++口3=1
-2%一3a2-2a3=-1
解之得
：
1二0,：
J=1,：
3二-1
<3）乘幕法地收敛速度取决于比值I入1/入1|,当这个比值接近于1时,收敛
很慢,反之收敛就比较快.例1是收敛较快地例子，如果收敛很慢，可以配合运用加速技术提高收敛速度•具体可参看西安交通大学出版社出版由邓建中等人编写地
《计算方法》一书•SixE2yXPq5
§2反幂法
反幕法可以计算矩阵按模最小地特征值及对应地特征向量•
设Axn为非奇异矩阵，则A-1存在若A地特征值入1<）满足
I入1|>|入2|>->|入n|>0
对应地特征向量为X1,X2,…,Xn.因为AXi=入iXi,所以A-1Xi=（1/入i>Xi,即（1/入
i>$二丄，从而n
A
对应地特征向量仍是X这就是说，计算A地按模最小地特征值入n只要计算A"1按模最大地特征值
1
1,而求A-1地按模最大地特征值只须应用前述地乘幕法即可
所以反幂法地选代向量是：
设初始向量于是
为避免求逆阵<）,由<）计算<）时,可以通过解线性方程组<）.
§3QR方法
§1、§2介绍了求矩阵A地部分特征值地方法,对于求它地全部特征值则有QR方法.
对矩阵AB,若在非奇异矩阵P使得
则称矩阵A和B相似,记A<）B,而称P为化A为B地相似变换,并且由于<）,得知相似矩阵有相同地特征值,又因为
<）
有
<）
显然,若<）为B相应在于<）地特征向量,则<）为A地相应于v）地特征向量•对于特殊地矩阵,例如上三角矩阵,其特征值即为主对角线上地元素,而任一非齐异矩阵与上三角矩阵地关系则有职下定理：
kavU42VRUs
定理8•2设<）地特征值<）都为实数,那么必存在直交相似变换Q化A为上三角矩阵,即
由于<）,故也可以说A与R相似.特别当A为对称矩阵时,有
v）
这里地直交矩阵Q若能知道，即可求生物电A地特征值，但Q地求得并不那么容易由此矩阵A地特征值也不可能直接求得•一般可由矩阵A通过直交相似变换构造矩阵列<）,使其逐步逼近上三角矩阵R,从而求得矩阵A地满足精度要求地近似特征值及相应地特征向量•y6v3ALoS89
定理8•3任一<）总可分解为一个直交矩阵Q和一个上三角矩阵R地乘积<）,若
A非奇异,则这和分解是唯一地•M2ub6vSTnP
证明对矩阵A,依<）左乘一系列初等旋转矩阵
＜）其中＜）当＜）时.取＜）；＜）当＜）时,则取＜）.这里＜）随A每次左乘＜）而不断变化,而＜）随之而变化,从而当＜）时,0YujCfmUCw
＜）
当＜）时有
＜）
最后当＜）时,有
＜）
其中＜）地符号随＜）地符号而定,于是
＜）
令＜）,显然Q为直交矩阵,故有
＜）
现再证当A非奇异,则R,Q有逆矩阵存在,于是
＜）
而＜）为下交矩阵,＜）为上三角矩阵,则要其相等,＜）必为对角阵,又根据＜）地直交性,便知＜）为单位矩阵,即eUts8ZQVRd
＜）
所以＜）并且显然有＜）以上证明实际上为我们提供了对A进行QR分解地具体方法.此外,A地QR分解也
可通过＜）直交化过程来实现.sQsAEJkW5T
既然任一非奇异矩阵A总有＜）,则令＜）,于是有＜）
那么＜）有＜）于是＜）与＜）有相同地特征值•再交＜）进行QR分解，有
＜）
则＜）
并令＜）
有＜）
于是＜）与＜）有相同地特征值.一般有
＜）
＜）
令
有＜）
＜）
于是＜）与＜）有相同地特征值.可以证明,若非齐异实矩阵A有＜）个不同模地特征值,即
＜）
则当v）时,v）本质上收敛于上三角矩阵Rv所谓本质上收敛于上三角矩阵是指矩阵列＜）,收敛于一个上三角矩阵,而这个上三角矩阵除主对角元素外极限并不要求一定存在）,R地主对角线元素即为所求地特征值•特别当A为对称矩阵时，＜）收敛于对角矩阵D.具体计算中，当＜）与＜）地主对角元素相差小于预先给定地业度时
则认为V）地主对角线元素即为A地特征值.对于QR分解，其有一个重要特点：
当A为对称带宽不变，即若A为三角矩阵,则V）仍为三对角矩阵.GMslasNXkA
习题七
用乘幕法或规范化乘幕法求下列矩阵按模最大地特征值及其对应地特征向量
-1
-1
-1
-2
-1
zvpgeqJ1hk
4）
15
2.用QR方法求下列矩阵6
NrpoJac3v1
1<）
I—1
3
一2
2<）
B=
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