机械振动学复习试题文档格式.docx
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解:
1)以静平衡位置为原点,设的位移为广义坐标,画出隔离体,根据牛顿第二定律得到运动微分方程:
所以:
系统运动微分方程可写为:
…………(a)
或者采用能量法:
系统的动能和势能分别为
求偏导也可以得到。
2)设系统固有振动的解为:
,代入(a)可得:
…………(b)
得到频率方程:
即:
解得:
和
…………(c)
将(c)代入(b)可得:
解得:
;
;
令,得到系统的三阶振型如图:
四、证明题(本题15分)
对振动系统的任一位移,证明Rayleigh商满足。
这里,和分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵,和分别是系统的最低和最高固有频率。
(提示:
用展开定理)‘
证明:
对系统的任一位移{x},Rayleigh商
满足
这里,[K]和[M]分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵,和分别为系统的最低和最高固有频率。
证明:
对振动系统的任意位移{x},由展开定理,{x}可按n个彼此正交的正规化固有振型展开:
其中:
[u]为振型矩阵,{c}为展开系数构成的列向量:
由于:
因此:
证毕。
(二)
一、填空题(本题15分,1空1分)
1、机械振动是指机械或结构在(静平衡)附近的(弹性往复)运动。
2、按不同情况进行分类,振动系统大致可分成,线性振动和(非线性振动);
确定性振动和随机振动;
自由振动和和(强迫振动);
周期振动和(非周期振动);
(连续系统)和离散系统。
3、(惯性)元件、(弹性)元件、(阻尼)元件是离散振动系统的三个最基本元素。
4、叠加原理是分析(线性振动系统)的振动性质的基础。
5、研究随机振动的方法是(统计方法),工程上常见的随机过程的数字特征有:
(均值),(方差),(自相关)和互相关函数。
6、系统的无阻尼固有频率只与系统的(质量)和(刚度)有关,与系统受到的激励无关。
二、简答题(本题40分,每小题5分)
1、简述确定性振动和随机振动的区别,并举例说明。
答:
确定性振动的物理描述量可以预测;
随机振动的物理描述量不能预测。
比如:
单摆振动是确定性振动,汽车在路面行驶时的上下振动是随机振动。
2、简述简谐振动周期、频率和角频率(圆频率)之间的关系。
,其中T是周期、是角频率(圆频率),f是频率。
3、简述无阻尼固有频率和阻尼固有频率的联系,最好用关系式说明。
答:
,其中是阻尼固有频率,是无阻尼固有频率,是阻尼比。
4、简述非周期强迫振动的处理方法。
1)先求系统的脉冲响应函数,然后采用卷积积分方法,求得系统在外加激励下的响应;
2)如果系统的激励满足傅里叶变换条件,且初始条件为0,可以采用傅里叶变换的方法,求得系统的频响函数,求得系统在频域的响应,然后再做傅里叶逆变换,求得系统的时域响应;
3)如果系统的激励满足拉普拉斯变换条件,且初始条件不为0,可以采用拉普拉斯变换的方法,求得系统的频响函数,求得系统在频域的响应,然后再做拉普拉斯逆变换,求得系统的时域响应;
5、什么是共振,并从能量角度简述共振的形成过程。
答:
当系统的外加激励与系统的固有频率接近时候,系统发生共振;
共振过程中,外加激励的能量被系统吸收,系统的振幅逐渐加大。
6、简述刚度矩阵[K]的元素的意义。
如果系统的第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移,其余各个自由度的位移保持为零,为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力,其中在第i个自由度上施加的外力就是kij。
7、简述线性变换[U]矩阵的意义,并说明振型和[U]的关系。
线性变换[U]矩阵是系统解藕的变换矩阵;
[U]矩阵的每列是对应阶的振型。
8、简述线性系统在振动过程中动能和势能之间的关系。
线性系统在振动过程中动能和势能相互转换,如果没有阻尼,系统的动能和势能之和为常数。
三、计算题(本题45分)
1、设有两个刚度分别为,的线性弹簧如图1,计算它们并联时和串联时的总刚度。
(5分)
图1
图2
图3
2、一质量为、转动惯量为的圆柱体作自由纯滚动,圆心受到一弹簧约束,如图2所示,求系统的固有频率。
(15分)
3、求如图3所示的三自由度弹簧质量系统的固有频率和振型。
(25分)(设)
1.解:
1)对系统施加力P,则两个弹簧的变形相同为,但受力不同,分别为:
由力的平衡有:
故等效刚度为:
2)对系统施加力P,则两个弹簧的变形为:
,弹簧的总变形为:
2.解:
取圆柱体的转角为坐标,逆时针为正,静平衡位置时,则当有转角时,系统有:
由可知:
(rad/s)
3.解:
以静平衡位置为原点,设的位移为广义坐标,系统的动能和势能分别为
求偏导得到:
得到系统的广义特征值问题方程:
和频率方程:
将频率代入广义特征值问题方程解得:
(三)
1、机械振动大致可分成为:
()和非线性振动;
确定性振动和();
()和强迫振动。
2、在离散系统中,弹性元件储存(),惯性元件储存(),()元件耗散能量。
3、周期运动的最简单形式是(),它是时间的单一()或()函数。
4、叠加原理是分析()系统的基础。
5、系统固有频率主要与系统的()和()有关,与系统受到的激励无关。
6、系统的脉冲响应函数和()函数是一对傅里叶变换对,和()函数是一对拉普拉斯变换对。
7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的()运动。
答案:
1、线性振动;
随机振动;
自由振动;
2、势能;
动能;
阻尼
3、简谐运动;
正弦;
余弦
4、线性
5、刚度;
质量
6、频响函数;
传递函数
7、往复弹性
1、简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。
(10分)
实际阻尼是度量系统消耗能量的能力的物理量,阻尼系数是度量阻尼的量;
临界阻尼是;
阻尼比是
2、共振具体指的是振动系统在什么状态下振动?
(10分)
共振是指系统的外加激励与系统的固有频率接近时发生的振动;
3、简述刚度矩阵[K]中元素kij的意义。
(10分)
4、简述随机振动问题的求解方法,以及与周期振动问题求解的区别。
随机振动的振动规律只能用概率统计方法描述,因此,只能通过统计的方法了解激励和响应统计值之间的关系。
而周期振动可以通过方程的求解,由初始条件确定未来任意时刻系统的状态。
三、计算题(45分)
3.1、(14分)如图所示中,两个摩擦轮可分别绕水平轴O1,O2转动,无相对滑动;
摩擦轮的半径、质量、转动惯量分别为r1、m1、I1和r2、m2、I2。
轮2的轮缘上连接一刚度为k的弹簧,轮1的轮缘上有软绳悬挂质量为m的物体,求:
1)系统微振的固有频率;
2)系统微振的周期;
(4分)。
3.2、(16分)如图所示扭转系统。
设转动惯量I1=I2,扭转刚度Kr1=Kr2。
1)写出系统的动能函数和势能函数;
(4分)
2)求出系统的刚度矩阵和质量矩阵;
3)求出系统的固有频率;
4)求出系统振型矩阵,画出振型图。
3.3、(15分)根据如图所示微振系统,
1)求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程;
(5分)
2)求出固有频率;
3)求系统的振型,并做图。
计算题答案:
3.1
(1)系统微振的固有频率;
(10分);
(2)系统微振的周期;
选取广义坐标x或θ;
确定m的位移与摩擦轮转角的关系,(质量m的位移与摩擦轮转动的弧长及弹簧的变形量相等);
,
写出系统得动能函数Et、势能函数U;
令d(Et+U)=0.求出广义质量和刚度
求出,进一步求出T
3.2.
(1)写出系统的动能函数和势能函数(4分);
(2)求出系统的刚度矩阵和质量矩阵(4分);
(3)求出系统的固有频率(4分);
(4)求出系统振型矩阵,画出振型图(4分)。
令
1)略
2)
3)频率:
4)振型矩阵:
振型图(略)
3.3
(1)求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程(5分);
(2)求出固有频率(5分);
(3)求系统的振型,并做图(5分)
频率方程:
即:
固有频率:
<
<
振型矩阵:
(四)
一、填空题(本题15分,每空1分)
1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成(线性振动)和非线性振动;
确定性振动和(随机振动);
(自由振动)和强迫振动。
2、周期运动的最简单形式是(简谐运动),它是时间的单一(正弦)或(余弦)函数。
3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与(质量)和(刚度)有关,与系统受到的激励无关。
4、简谐激励下单自由度系统的响应由(瞬态响应)和(稳态响应)组成。
5、工程上分析随机振动用(数学统计)方法,描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、(自相关函数)和(互相关函数)。
6、单位脉冲力激励下,系统的脉冲响应函数和系统的(频响函数)函数是一对傅里叶变换对,和系统的(传递函数)函数是一对拉普拉斯变换对。
二、简答题(本题40分)
1、什么是机械振动?
振动发生的内在原因是什么?
外在原因是什么?
(7分)
机械振动是指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。
(3分)
振动发生的内在原因是机械或结构具有在振动时储存动能和势能,而且释放动能和势能并能使动能和势能相互转换的能力。
(2分)
外在原因是由于外界对系统的激励或者作用。
2、从能量、运动、共振等角度简述阻尼对单自由度系统振动的影响。
(12分)
从能量角度看,阻尼消耗系统的能力,使得单自由度系统的总机械能越来越小;
从运动角度看,当阻尼比大于等于1时,系统不会产生振动,其中阻尼比为1的时候振幅衰减最快(4分);
当阻尼比小于1时,阻尼使得单自由度系统的振幅越来越小,固有频率降低,阻尼固有频率;
共振的角度看,随着系统能力的增加、增幅和速度增加,阻尼消耗的能