专题05 等腰三角形中的动态问题解析版Word文档下载推荐.docx

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【例1-2】

贵州六盘水期末）如图，在中，，，点D在边BC上运动（点D不与点重合），连接AD，作，DE交边AC于点E．

（1）当时，，

（2）当DC等于多少时，，请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？

若可以，请求出的度数；

若不可以，请说明理由．

【答案】

（1）30，100；

（2）（3）见解析.

（1）在△BAD中，

∵∠B=50°

，∠BDA=100°

，

∴∠EDC=30°

，∠DEC=100°

.

（2）当CD=3时，△ABD≌△DCE，理由如下：

∵AB=CD=3，∠B=50°

，∠ADE=50°

∴∠B=∠ADE

∵∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°

，∠DEC+∠C+∠EDC=180°

∴∠ADB=∠DEC

又∠B=∠C

∴△ABD≌△DCE

（3）可以，理由如下：

∵∠B=∠C=50°

∴∠BAC=80°

①当AD=DE时，∠DAE=∠DEA=65°

∴∠BAD=∠BAC－∠DAE=15°

∴∠BDA=115°

②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=50°

∴∠DAE=180°

－∠AED－∠ADE=80°

又∵∠BAC=80°

∴∠DAE=∠BAE

∴点D与点B重合，不合题意．

③当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=50°

∴∠BAD=∠BAC－∠DAE=30°

∴∠BDA=100°

综上所述，当∠BDA的度数为115°

或100°

时，△ADE是等腰三角形．

【变式1-1】

（2019·

霍林郭勒市期中）点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上，且△APO是等腰三角形，这样的点P共有（）个

A．6B．7C．8D．9

【答案】C.

分两种情况进行讨论，

当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；

当OA是腰时，以点O为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴有4个交点；

以点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；

∴满足条件的点P共有8个，

C．

【变式1-2】

山西初二月考）综合与探究：

在中，.点从点出发以的速度沿线段向点运动．

（1）如图1，设点的运动时间为，当______时，是直角三角形．

（2）如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点都以的速度同时出发，设运动时间为，求当为何值时，是直角三角形．

（3）如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交点，且动点都以的速度同时出发．

①设运动时间为，那么当为何值时，是等腰三角形？

②如图4，连接.请你猜想：

在点的运动过程中，和的面积之间的数量关系为______．

（1）；

（2）（3）见解析．

（1）当△PBC是直角三角形时，则∠BPC=90°

∵∠B=60°

∴BP=AP=cm，

∴t=，

；

（2）①当∠BPQ=90°

时，BP=BQ，

即3-t=t，解得：

t=2

②当∠BQP=90°

时，BP=2BQ，

即3-t=2t，解得：

t=1

故当t=1或2s时，△PBQ是直角三角形；

（3）①∵∠DCQ=120°

∴当△DCQ是等腰三角形，CD=CQ，

∴∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°

∵∠A=60°

∴∠APD=90°

∴AD=2AP

3-t=2t，解得：

②S△PCD=S△QCD，

过点P作PE⊥AC于E，过点Q作QG⊥AC于点G，

∴∠CGQ=∠AEP=90°

∵AB=AC=BC

∴∠A=∠ACB=∠QCG=60°

∴△EAP≌△GCQ

∴PE=QG

∴△PCD与△QCD同底等高

故S△PCD=S△QCD．

【例2】

江苏江阴月考）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；

BC=6cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．

（1）①△BPD与△CQP全等，②点Q的运动速度是cm/s．

（2）经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．

（1）①△BPD与△CQP全等，

∵点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是1cm/s，

∴运动1秒时，BP=CQ=1cm，

∵BC=6cm，

∴CP=5cm，

∵AB=10，D为AB的中点，

∴BD=5，

∴BD=CP，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴△BPD≌△CQP．

②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP≠CQ，

若△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，

此时，点P运动3cm，需3秒，而点Q运动5cm，

∴点Q的运动速度是cm/s．

（2）设经过t秒时，P、Q第一次相遇，

∵P的速度是1厘米/秒，Q的速度是厘米/秒，

∴10+10+t=t，

解得：

t=30，

此时点Q的路程=30×

=50（厘米），

∵50＜2×

26，

∴此时点Q在BC上，

∴经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．

【例3-1】

武汉市期中）如图，已知：

∠MON=30°

，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=1，则△A9B9A10的边长为（　　）

A．32B．64C．128D．256

如图，

∵△A1B1A2是等边三角形，

∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°

∴∠2=120°

∵∠MON=30°

∴∠1=180°

-120°

-30°

=30°

又∵∠3=60°

∴∠5=180°

-60°

=90°

∵∠MON=∠1=30°

∴OA1=A1B1=1，

∴A2B1=1，

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，

∴∠11=∠10=60°

，∠13=60°

∵∠4=∠12=60°

∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，

∴∠1=∠6=∠7=30°

，∠5=∠8=90°

∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，

∴A3B3=4B1A2=4，

A4B4=8B1A2=8，

A5B5=16B1A2=16，

…

∴△AnBnAn+1的边长为2n-1，

∴△A9B9A10的边长为29-1=28=256．

故答案为D．

【例3-2】

浙江温州月考）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③、④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn－Pn－1等于…（）

A．B．3－C．1－D．＋

【答案】A

P1＝1＋1＋1＝3，

P2＝1＋1＋＝，

P3＝1＋1＋×

3＝，

P4＝1＋1＋×

2＋×

∴P3－P2＝－＝，

P4－P3＝－＝，

∴Pn－Pn－1＝，

A．

【变式3-1】

山东牡丹期末）如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，，，，均为等边三角形．若，则的边长为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】解:

∵△A1B1B2是等边三角形，

∴A1B1=A1B2，∠A1B1B2=∠A1B2O=60°

∵∠O=30°

∴∠A2A1B2=90°

∴∠O=∠OA1B1=30°

∴OB1=A1B1=A1B2=1

同理可得：

A3B3=4，A4B4=8，AnBn=2n-1

∴△A8B8B9的边长为2=128.

B.

【变式3-2】

贵州印江月考）如图，已知……，若∠A＝70°

，则的度数为（）

【答案】C

∵，

∴∠AA1B=∠A=70°

∵

∴∠A1A2B1=∠A1B1A2

∵∠AA1B=∠A1A2B1＋∠A1B1A2

∴∠A1A2B1=∠AA1B==35°

∠A2A3B2=∠A1A2B1==

∠A3A4B3=∠A2A3B2==

∴=

故答案为C．

【习题精练】

1.（2020·

山东青州期中）如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，∠AOx=40°

，点P在x轴上，若△POA是等腰三角形，则满足条件的点P共有______个．

【答案】4.

有OA=OP、AO=AP、PO=PA三种情况：

①以O为圆心，OA长为半径画弧，于x轴有2个交点P2、P3，

②以A为圆心，OA长为半径画弧，与x轴有2个交点O、P1，

点O与OA不能构成三角形，P1符合条件，

③作线段OA的垂直平分线，交x轴有1个交点P4，

∴P4A=P4O，

∴P4符合条件，

综上所述：

符合条件的点共有4个，

4

2.（2019·

浙江宁波模考）如图，，点在上．以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；

再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；

……按照上面的要求一直画下去，得到点，若之后就不能再画出符合要求点了，则________．

【答案】8

【解析】根据题意可知，画出的三角形是等腰三角形，第一个底角；

由三角形外角和定理可得，第二个等腰三角形的底角20°

，第三个等腰三角形的底角30°

，同理可得第n个等腰三角形的底角度数为10n，

因为等腰三角形的底角小于90°

，10n<

90，即n<

9.

故答案为8.

3.（2020·

河北保定一模）如图，，点在上．以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；

……，按照上面的要求一直画下去，就会得到，则

（1）_________；

（2）与线段长度相等的线段一共有__________条（不含）．

【答案】100,9.

（1）由题意可知，，，…，

则，，…，

∵10°

∴20°

，30°

，40°

，50°

，60°

，…，

∴180°

−40°

=100°

100；