江苏省连云港市届高三第一学期期末调研考试数学Word文件下载.docx
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EC的值为▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.
15.(本小题满分14分)
在中,角,,所对的边分别为,,,且,.
⑴求的值;
⑵若,求的面积.
16.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱中,,,,分别是,的中点.
求证:
⑴;
⑵.
17.(本小题满分14分)
某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°
而成,如图2.已知圆O的半径为10cm,设∠BAO=θ,,圆锥的侧面积为Scm2.
⑴求S关于θ的函数关系式;
⑵为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,且过点.为椭圆的右焦点,为椭圆上关于原点对称的两点,连接分别交椭圆于两点.
⑴求椭圆的标准方程;
⑵若,求的值;
⑶设直线,的斜率分别为,,是否存在实数,使得,若存在,求出的值;
若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分16分)
已知函数.
⑴当时,求函数的极值;
⑵若存在与函数,的图象都相切的直线,求实数的取值范围.
20.(本小题满分16分)
已知数列,其前项和为,满足,,其中,,,.
⑴若,,(),求证:
数列是等比数列;
⑵若数列是等比数列,求,的值;
⑶若,且,求证:
数列是等差数列.
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修41:
几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,是圆的直径,弦,的延长线相交
于点,垂直的延长线于点.
B.[选修42:
矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵,,若矩阵,求矩阵的逆矩阵.
C.[选修44:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,判断直线(为参数)与圆的位置关系.
D.[选修45:
不等式选讲](本小题满分10分)
已知都是正实数,且,求证:
.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
在正三棱柱中,已知,,,,分别是,和的中点.以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系.
⑴求异面直线与所成角的余弦值;
⑵求二面角的余弦值.
23.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,已知平行于轴的动直线交抛物线于点,点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线,,轴都相切,设的轨迹为曲线.
⑴求曲线的方程;
⑵若直线与曲线相切于点,过且垂直于的直线为,直线,分别与轴相交于点,.当线段的长度最小时,求的值.
数学参考答案与评分标准
1.2.3.4.5.7506.7.8.
9.10.11.12.13.14.
15.
(1)在中,由,得为锐角,所以,
所以,………………………………………………………………2分
所以.………………………………4分
…………………………………………………………6分
(2)在三角形中,由,
所以,………………………………………………8分
由,…………………………10分
由正弦定理,得,………………………12分
所以的面积.…………………………14分
16.
(1)证明:
取的中点,连结
因为分别是的中点,
所以且
在直三棱柱中,,,
又因为是的中点,
所以且.…………………………………………2分
所以四边形是平行四边形,
所以,………………………………………………………………4分
而平面,平面,
所以平面.……………………………………………………6分
(2)证明:
因为三棱柱为直三棱柱,所以面,
又因为面,
所以面面,…………………8分
又因为,所以,
面面,,
所以面,………………………10分
所以,即,
连结,因为在平行四边形中,,
所以,
又因为,且,面,
所以面,……………………………………………………………………12分
而面,
所以.……………………………………………………………………………14分
17.
(1)设交于点,过作,垂足为,
在中,,,
…………………………………………………………2分
在中,,
…………………………………………………………4分
所以
,……………………6分
(2)要使侧面积最大,由
(1)得:
…………8分
设
则,由得:
当时,,当时,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以在时取得极大值,也是最大值;
所以当时,侧面积取得最大值,…………………………11分
此时等腰三角形的腰长
答:
侧面积取得最大值时,等腰三角形的腰的长度为.…………14分
18.
(1)设椭圆方程为,由题意知:
……………2分
解之得:
,所以椭圆方程为:
……………………………4分
(2)若,由椭圆对称性,知,所以,
此时直线方程为,……………………………………………6分
由,得,解得(舍去),…………8分
故.…………………………………………………………………10分
(3)设,则,
直线的方程为,代入椭圆方程,得
,
因为是该方程的一个解,所以点的横坐标,…………………12分
又在直线上,所以,
同理,点坐标为,,……………………………………………14分
即存在,使得.………………………………………………………16分
19.
(1)函数的定义域为
当时,,
所以………………………………………………2分
所以当时,,当时,,
所以函数在区间单调递减,在区间单调递增,
所以当时,函数取得极小值为,无极大值;
…………………4分
(2)设函数上点与函数上点处切线相同,
则
所以……………………………………6分
所以,代入得:
………………………………………………8分
设,则
不妨设则当时,,当时,
所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,……………10分
代入可得:
设,则对恒成立,
所以在区间上单调递增,又
所以当时,即当时,……………12分
又当时
……………………………………14分
因此当时,函数必有零点;
即当时,必存在使得成立;
即存在使得函数上点与函数上点处切线相同.
又由得:
所以单调递减,因此
所以实数的取值范围是.…………………………………………………16分
20.
(1)证明:
若,则当(),
即,
所以,……………………………………………………………2分
又由,,
得,,即,
故数列是等比数列.……………………………………………………………4分
(2)若是等比数列,设其公比为(),
当时,,即,得
, ①
, ②
, ③
②①,得,
③②,得,
解得.
代入①式,得.…………………………………………………………………8分
此时(),
所以,是公比为1的等比数列,
故.……………………………………………………………………10分
(3)证明:
若,由,得,
又,解得.…………………………………………………12分
由,,,,代入得,
所以,,成等差数列,
由,得,
两式相减得:
即
相减得:
,……………………………………14分
因为,所以,
即数列是等差数列.………………………………………………………………16分
数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准
21.A.证明:
连接,因为为圆的直径,所以,
又,则四点共圆,
所以. …………………………………………………………5分
又△∽△,
∴.…………10分
B.因为,………………………………………5分
所以.………………………………………………………10分
C.把直线方程化为普通方程为.……………………………3分
将圆化为普通方程为,
即.………………………………………………………………6分
圆心到直线的距离,
所以直线与圆相切.…………………………………………………………………10分
D.证明:
因为
,…………………………………………5分
又,
所以.…………………………………………10分
22.
(1)因为,则,
所以,,………………………………………2分
记直线和所成角为,
则,
所以直线和所成角的余弦值为.………………………………………4分
(2)设平面的法向量为,
因为,,
则,取得:
……………………………6分
设平面的一个法向量为,
………………………8分
根据图形可知二面角为锐二面角,
所以二面角的余弦值为;
……………………………………10分
23.
(1)因为抛物线的方程为,所以的坐标为,
设,因为圆与轴、直线都相切,平行于轴,
所以圆的半径为,点,
则直线的