小学数学《几何计数》练习题含答案Word下载.docx

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【例7】数一数，右图中共有多少个三角形?

【例8】数一数，右图中共有多少个三角形?

【例9】

（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中三角形共多少个？

数四边形

【例10】数一数，各图中长方形的个数?

【例11】带*的长方形有多少个？

【例12】右图中有多少个长方形？

【例13】右图中各小格都是正方形，图中共有多少个正方形？

【例14】数一数，下例各图中有多少个正方形？

习题七

1．有一把尺子，因磨损只能看清“0”“2”“5”“8”“9”，你能用这把尺子准确画出多少条不同长度的线段？

2．数一数，右图中有多少个角?

3．数数右图中有多少条线段？

4．如右图，数数有多少个三角形？

5．数一数下图中有多少个正方形？

6．如下图，数一数下列图中长方形的个数？

带小花的长方形有多少个？

*

7．数一数，右图中共有多少个正方形?

【例15】数一数，下图中有多少条线段?

分析：

我们要做到有序思考问题，做到不重、不漏，必须有一个“找”的依据，下面我将给大家展示两种常见的方法：

法1：

以线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图

以A点为共同左端点的线段有：

ABACADAEAF5条．

以B点为共同左端点的线段有：

BCBDBEBF4条．

以C点为共同左端点的线段有：

CDCECF3条．

以D点为共同左端点的线段有：

DEDF2条．

以E点为共同左端点的线段有：

EF1条．

总数5+4+3+2+1＝15条．

法2：

我们规定：

把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们还可以这样分类数，

由1个基本线段构成的线段有：

AB、BC、CD、DE、EF5条。

由2个基本线段构成的线段有：

AC、BD、CE、DF4条．

由3个基本线段构成的线段有：

AD、BE、CF3条．

由4个基本线段构成的线段有：

AE、BF2条．

由5个基本线段构成的线段有：

AF1条．

总数5+4+3+2+1＝15条．

这两个方法你掌握的怎么样啊？

细心的你从中能发现什么规律么？

从这道例题中我发现了下面这个结论：

（结论内容学生版没有，请教师注意帮助学生总结填写）

如果一条直线上有n个点，那么线段的条数为：

（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+3+2+1=n×

（n-1）÷

2（条）.

为巩固学生对结论的记忆及应用，教师可在此多多举例联系！

【例16】有一把奇怪的尺子，上面只有“0”“1”“4”“6”这几个刻度（单位：

把“0”“1”“4”“6”看成4个点；

0～1：

1厘米；

0～4：

4厘米；

0～6：

6厘米；

1～4：

3厘米；

1～6：

5厘米；

4～6：

2厘米。

共6种不同长度的线段。

【例17】

讲解此题之前可先向学生介绍一下下题：

数一数，右下图中共有多少条线段？

数线段要分类数：

我把它分成两大类：

“个人”和“集体”。

这里面AC、BD是“个人”，BC（其中包含BO、CO）、AD（其中包含AO、DO）是“集体”，思路如下：

“个人”：

AC、BD，2个；

“集体1”：

BC、BO、CO；

“集体2”：

AD、AO、DO，所以共有8条线段。

回到例题，观察可知这个图形中都是“集体”，在数的时候我们也可以对“集体”进行分类.

1含4个交点的集体：

AG、AB中共有线段：

（3+2+1）×

2=12（条）；

2含3个交点的集体：

EF，CD，BC，AC中共有线段：

（2+1）×

4=12（条）；

所以总共有线段：

12+12=24（条）．

【例18】

建议讲解此题之前，请教师先把角的计数方法给孩子们巩固一下.可参看附加6.

按公共角进行分类：

以∠OAB为公共角：

△OAB、△OAC、△OAD、△OAE、△OAF共5个；

以∠OBC为公共角：

4个；

以∠OCD为公共角：

3个；

以∠ODE为公共角：

2个；

以∠OEF为公共角：

1个；

共15个。

按基本三角形分类。

法3：

一个三角形由三个顶点和三条边组成。

图中的三角形共用同一个顶点。

我们如果不看下面的一条底边，只看上面，你一定能用数角的方法数出来：

5+4+3+2+1=15（个）角，每个角都可以以下面的一条线段做底，就形成了15个三角形。

【例19】如右图中，数一数共有多少条线段？

仔细观察可知，每个三角形中，有两条边都是由O点引出的，而第三边是AE和FG上的线段，AE和FG上的线段条数就和三角形的个数一一对应了.于是数三角形个数的问题就转化为数线段的问题了.FG上含有的基本线段有：

5×

4÷

2=10（条）；

AE上含有的基本线段有：

所以共有：

10+10=20（个）三角形.

【例20】如右图，数数有多少个三角形？

（按边长分类）从上到下分成最基本的4层，共有小三角1+3+5+7=16（个）；

两层一结合，有次大三角形1+2+4=7（个）；

三层一结合，有较大三角形1+2=3（个）；

四层一结合，有最大三角形1个，所以共16+7+3+1=27（个）。

这个方法其实就是将三角形按边长来分类数，只不过更加强调计数时在层与层之间有序的考虑.在数的过程中注意可将三角形分成尖朝上和朝下两类.

【例21】数一数，右图中共有多少个三角形?

（按所含的基本图形个数分类）只含有一个基本三角形的三角形有6个；

恰含两个基本三角形的三角形有3个；

恰含三个基本三角形的三角形有6个；

恰含四个或五个基本三角形的三角形一个也没有；

恰含六个基本三角形的三角形只有1个。

图中共有三角形：

6+3+6+1=16（个）。

【例22】数一数，右图中共有多少个三角形?

（按大小分类）图中共有44个三角形。

其中最大的2个、次大的6个、次小的12个、最小的24个。

【例23】

（按形状分类）类似于△ABH的三角形共有6个；

类似于△AGH的三角形共有6个；

类似于△ABJ的三角形共有12个；

类似于△ABC的三角形共有6个；

类似于△AEC的三角形共有2个．于是，图中共有三角形6+6+12+6+2=32（个）．

【例24】数一数，各图中长方形的个数?

分类来数：

（1）以AD长为左宽共有10个长方形.

（2）以DE长为左宽，有10个长方形；

以DA长为左宽，有10个长方形；

以EA长为左宽，有10个长方形；

所以图中共有30个长方形.

（3）以DE长为左宽，有10个长方形；

以DG长为左宽，有10个长方形；

以EG长为左宽，有10个长方形；

以GA长为左宽，有10个长方形；

所以图中共有60个长方形.

当然，你也可以以一条长为根基来分类数.

因为长方形是由长和宽两个因素确定的，所以数长方形的个数与数线段的条数也有着密切的联系．可以这样思考：

先数一数AB边上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的长，再数一数AD上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的宽，每一条长与一条宽搭配，就确定了一个长方形，这样就容易得出一共有多少个长方形了．

先来看图

（1），AB边上包含着的10条线段（想一想：

为什么），其中的每一条都可与线段AD对应，唯一确定一个长方形，所以图

（1）中共有（10×

1）=10个长方形．

再来看图

（2），与图

（1）不同的是，在AD上增加了一个分点，这样就有3条线段，这3条线段分别与AB边上不同的线段构成长方形，所以图

（2）中共有（10×

3）=30个长方形．

最后看图（3），与上面的思路相同，由于AD边上有（3+2+1）=6条线段，所以图（3）中共有（10×

6）=60个长方形．

解：

（1）（4+3+2+1）×

1=10（个）；

（2）（4+3+2+1）×

（2+1）=30（个）；

（3）（4+3+2+1）×

（3+2+1）=60（个）．

现在，请同学们想一想：

这三个算式中左边被乘数中的最大数与什么有关?

乘数中的最大数又与什么有关?

我们可以得出计数与上题类似的图形中的长方形的一般方法：

当一条边上含有n条基本线段，另一边含有m条基本线段时，长方形的总数为：

（n+…+3+2+1）×

（m+…+3+2+1）。

【例25】带*的长方形有多少个？

长中带*的线段有8条，宽中带*的线段有6条，长方形是由长和宽两个因素确定的，所以带*的长方形有8×

6=48（个）.

【例26】右图中有多少个长方形？

以AB长为宽的长方形有：

3+2+1=6（个）；

以AC长为宽的长方形有：

以BC长为宽的长方形有：

4+3+2+1=10（个）；

所以共有长方形22个.

【例27】右图中各小格都是正方形，图中共有多少个正方形？

同学们都知道，正方形是长和宽相等的长方形，所以数正方形时不能简单地照搬计数长方形的方法．根据正方形的特点，我们可以采用分类的方法来数正方形的个数．为了叙述的方便起见，我们把以一条基本线段的长度为边长的正方形称为基本正方形·

图中共有三类正方形，即基本正方形，由4个基本正方形组成的正方形和由9个基本正方形组成的正方形，我们分三类统计：

（1）基本正方形共有（9×

3）=27个；

（2）由4个基本正方形组成的正方形共有（8×

2）=16个；

（3）由9个基本正方形组成的正方形共有（7×

1）=7个．

所以，图中的正方形共有（27+16+7）=50个．

上面我们是用枚举法来计数正方形的，但是如果基本正方形的个数较多，这种方法显然很麻烦．那么，计数正方形是不是也有规律可循呢?

答案是肯定的．

如果一个长方形的一条边被分成n等份，另一条边被分成m等份，且长和宽上的每一份相等，那么这个长方形中正方形的总数为：

nm+（n－1）（m－1）+（n－2）（m－2）+…+（n－m+1）×

1（其中n≥m）．

【例28】数一数，下例各图中有多少个正方形？