高考理科数学第一轮复习教案50第三节圆的方程圆的方程Word文档下载推荐.docx

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半径r＝

易误提醒　

（1）标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r>

0）中易忽视右端为半径r的平方，而不是半径．

（2）对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>

0这一成立条件．

必备方法　求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．

（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

（2）圆心在任一弦的中垂线上．

（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

[自测练习]

1．圆x2＋y2－4x＋8y－5＝0的圆心与半径分别为（　　）

A．（－2,4），5　　　　　　B．（2，－4），5

C．（－2,4），D．（2，－4），

解析：

圆心坐标为（2，－4），

半径r＝＝5.

答案：

B

2．圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A（2，－3），B（－2，－5）的圆的方程为________．

法一：

设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为（2a＋3，a）．

又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，

即

＝，解得a＝－2，

所以圆心C的坐标为（－1，－2），半径r＝.

故所求圆的方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10.

法二：

设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，

由题意得

解得

（x＋1）2＋（y＋2）2＝10

知识点二　点与圆的位置关系

1．确定方法：

比较点与圆心的距离与半径的大小关系．

2．三种关系：

圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2，点M（x0，y0）．

（1）（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2⇔点在圆上．

（2）（x0－a）2＋（y0－b）2>

r2⇔点在圆外．

（3）（x0－a）2＋（y0－b）2<

r2⇔点在圆内．

易误提醒　若圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点M（x0，y0）．注意点M与圆的位置关系满足条件．

3．若点（1,1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（　　）

A．－1<

a<

1B．0<

1

C．a>

1或a<

－1D．a＝±

因为点（1,1）在圆的内部，

∴（1－a）2＋（1＋a）2<

4，∴－1<

1.

A

考点一　圆的方程|

1．（2015·

高考北京卷）圆心为（1,1）且过原点的圆的方程是（　　）

A．（x－1）2＋（y－1）2＝1

B．（x＋1）2＋（y＋1）2＝1

C．（x＋1）2＋（y＋1）2＝2

D．（x－1）2＋（y－1）2＝2

因为圆心为（1,1）且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.

D

2．（2015·

高考全国卷Ⅱ）过三点A（1,3），B（4,2），C（1，－7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（　　）

A．2　　　　　　　　B．8

C．4D．10

设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则，解得D＝－2，E＝4，F＝－20，所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0，令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M（0，y1），N（0，y2），则y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，所以|MN|＝|y1－y2|＝＝4.故选C.

C

3．（2015·

广州测试）圆（x－1）2＋（y－2）2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为（　　）

A．（x－2）2＋（y－1）2＝1

B．（x＋1）2＋（y－2）2＝1

C．（x＋2）2＋（y－1）2＝1

D．（x－1）2＋（y＋2）2＝1

∵圆心（1,2）关于直线y＝x对称的点为（2,1），∴圆（x－1）2＋（y－2）2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝1.

待定系数法求圆的方程的三个步骤

（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.

（2）根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组．

（3）解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求结果．

考点二　与圆有关的最值范围问题|

与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：

1．斜率型最值问题．

2．截距型最值问题．

3．距离型最值问题．

4．距离和（差）的最值问题．

5．利用目标函数求最值．

探究一　斜率型最值问题

1．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求的最大值和最小值．

解：

原方程可化为（x－2）2＋y2＝3，

表示以（2,0）为圆心，为半径的圆．

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设＝k，即y＝kx.

如图所示，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±

.

所以的最大值为，最小值为－.

探究二　截距型最值问题

2．在[探究一]条件下求y－x的最大值和最小值．

y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±

所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.

探究三　距离型最值问题

3．在[探究一]条件下求x2＋y2的最大值和最小值．

如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．

又圆心到原点的距离为

＝2，

所以x2＋y2的最大值是（2＋）2＝7＋4，x2＋y2的最小值是（2－）2＝7－4.

探究四　距离和（差）最值问题

4．已知圆C1：

（x－2）2＋（y－3）2＝1，圆C2：

（x－3）2＋（y－4）2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为（　　）

A．5－4　　　　　　　B.－1

C．6－2D.

圆心C1（2,3），C2（3,4），作C1关于x轴的对称点C′1（2，－3），连接C′2C2与x轴交于点P，此时|PM|＋|PN|取得最小值，为|C′2C2|－1－3＝5－4.

探究五　利用目标函数求最值

5．已知直线ax＋by＋c－1＝0（bc>

0）经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是（　　）

A．9B．8

C．4D．2

将x2＋y2－2y－5＝0化为x2＋（y－1）2＝6，圆心（0,1），代入ax＋by＋c－1＝0得b＋c＝1.∴＋＝（b＋c）＝5＋＋≥5＋2＝9.

求解与圆有关的最值问题的两大规律

（1）借助几何性质求最值

处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．

（2）建立函数关系式求最值

根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．

　　　　考点三　与圆有关的轨迹问题|

　已知圆x2＋y2＝4上一定点A（2,0），B（1,1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

（1）求线段AP中点的轨迹方程；

（2）若∠PBQ＝90°

，求线段PQ中点的轨迹方程．

[解]　

（1）设AP的中点为M（x0，y0），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x0－2,2y0）．

因为P点在圆x2＋y2＝4上，

所以（2x0－2）2＋（2y0）2＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.

（2）设PQ的中点为N（x′，y′）．

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x′2＋y′2＋（x′－1）2＋（y′－1）2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法

（1）直接法：

根据题设条件直接列出方程．

（2）定义法：

根据圆的定义写出方程．

（3）几何法：

利用圆的性质列方程．

（4）代入法：

找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．

（2016·

唐山一中调研）点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是（　　）

A．（x－2）2＋（y＋1）2＝1

B．（x－2）2＋（y＋1）2＝4

C．（x＋4）2＋（y－2）2＝4

D．（x＋2）2＋（y－1）2＝1

设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则即代入x2＋y2＝4，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4.化简得（x－2）2＋（y＋1）2＝1.

　　25.方程思想在圆中的应用

【典例】　在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．

[思维点拨]　曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴有3个交点，可设圆的一般式方程或标准式方程，通过列方程或方程组可求．

[解]　法一：

曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为（0,1）与x轴的交点为（3＋2，0），（3－2，0）．

设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>

0），则有

故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.

曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为（0,1），与x轴的交点为（3＋2，0），（3－2，0），

故可设圆C的圆心为（3，t），则有32＋（t－1）2＝

（2）2＋t2，解得t＝1，则圆C的半径为＝3，

所以圆C的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝9.

[方法点评]　

（1）一般解法（代数法）：

可以求出曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．

（2）巧妙解法（几何法）：

利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．

[跟踪练习]　已知圆C关于y轴对称，经过点（1,0）且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为________．

由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心（0，a），半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，

即a＝±

，故圆C的方程为x2＋2＝.

x2＋2＝

A组　考点能力演练

1．以线段AB：

x＋y－2＝0（0≤x≤2）为直径的圆的方程为（　　）

A．（x＋1）2＋（y＋1）2＝2

B．（x－1）2＋（y－1）2＝2

C．（x＋1）2＋（y＋1）2＝8

D．（x－1）2＋（y－1）2＝8

直径的两端点分别为（0,2），（2,0），

∴圆心为（1,1），半径为，故圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.

2．（2016·

北京西城期末）若坐标原点在圆（x－m）2＋（y＋m）2＝4的内部，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－1,1）　　　　　B．（－，）

C．（－，）D.

∵（0,0）在（x－m）2＋（y＋m）2＝4的内部，则有（0－m）2＋（0＋m）2<

4，解得－<

m<

，选C.

3．（2016·