18秋福师《实变函数》在线作业一-1辅导资料x.docx
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18秋福师《实变函数》在线作业一-1
1、B2、B3、A4、B5、B
一、判断题共37题，74分
1、f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
A错误
B正确
正确答案是：
B
2、当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
A错误
B正确
正确答案是：
B
3、若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
A错误B正确
正确答案是：
A
4、若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
A错误
B正确
正确答案是：
B
5、若f有界且m（X）<∞,则f可测。
A错误
B正确
正确答案是：
B
6、增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A错误
B正确
正确答案是：
B
7、若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A错误
B正确
正确答案是：
B
8、对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A错误
B正确
正确答案是：
B
9、若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
A错误
B正确
正确答案是：
B
10、若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A错误
B正确
正确答案是：
B
11、测度为零的集称为零测集.
A错误
B正确
正确答案是：
B
12、存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'（x）在[a,b]上积分值∫fdxA错误
B正确
正确答案是：
B
13、有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
A错误
B正确
正确答案是：
A
14、若f可测，则|f|可测，反之也成立.
A错误
B正确
正确答案是：
A
15、f可积的必要条件:
f几乎处处有限，且集X（f≠0）有sigma-有限测度。
A错误
B正确
正确答案是：
B
16、若f_n测度收敛于f，g连续，则g（f_n）也测度收敛于g（f）.
A错误
B正确
正确答案是：
A
17、函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A错误
B正确
正确答案是：
B
18、有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A错误
B正确
正确答案是：
A
19、当f在（0,+∞）上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f（x）=0.
A错误
B正确
正确答案是：
B
20、若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
A错误
B正确
正确答案是：
B
21、利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：
几乎处处可微而且导函数可积。
A错误
B正确
正确答案是：
B
22、三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A错误
B正确
正确答案是：
B
23、f在E上可积的充要条件是级数M[E（|f|>=n）]之和收敛.
A错误
B正确
正确答案是：
A
24、若f广义R可积且f不变号，则fL可积.
A错误
B正确
正确答案是：
B
25、无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A错误
B正确
正确答案是：
A
26、g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
A错误
B正确
正确答案是：
B
27、连续函数和单调函数都是有界变差函数.
A错误
B正确
正确答案是：
A
28、绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
A错误
B正确
正确答案是：
B
29、f为[a,b]上减函数，则f'（x）在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f（b）-f（a）.
A错误
B正确
正确答案是：
A
30、设f:
R->R可测，f（x+y）=f（x）+f（y）,则f（x）=ax
A错误
B正确
正确答案是：
B
31、R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A错误
B正确
正确答案是：
B
32、若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A错误
B正确
正确答案是：
A
33、可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
A错误
B正确
正确答案是：
B
34、函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A错误
B正确
正确答案是：
B
35、有限覆盖定理的内容是：
若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
A错误
B正确
正确答案是：
B
36、函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
A错误
B正确
正确答案是：
A
37、f,g∈M（X）,则fg∈M（X）.
A错误
B正确
正确答案是：
B
二、单选题共5题，10分
1、fn∈L（E）,则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（）
A充分条件
B必要条件
C充要条件
D非充分非必要条件正确答案是：
D
2、开集减去闭集其差集是（）
A闭集
B开集
C非开非闭集
D既开既闭集正确答案是：
B
3、下列关系式中不成立的是（）Af（∪Ai）=∪f（Ai）
Bf∩（Ai）=f（∩Ai）
C（A∩B）0=A0∩B0
D（∪Ai）c=∩（Aic）正确答案是：
B
4、fn->f,a.e.,则
Afn依测度收敛于f
Bfn几乎一致收敛于f
Cfn一致收敛于fD|fn|->|f|,a.e.
正确答案是：
D
5、设g（x）是[0,1]上的有界变差函数，则f（x）=sinx-V0x（g）是[0,1]上的
A连续函数
B单调函数
C有界变差函数
D绝对连续函数正确答案是：
C
三、多选题共8题，16分
1、若f∈AC[a,b]，则（）Af∈C[a,b]
Bf∈BV[a,b]
Cf（x）=f（a）+∫ax f'（t）dt
Df∈Lip[a,b]
正确答案是：
ABC
2、若f∈BV[a,b]，则（）
Af为有界函数
BVax（f）为增函数
C对任意c有Vab（f）=Vac（f）+Vcb（f）
Df至多有可数个第一类间断点正确答案是：
ABCD
3、f（x）=1,x∈（-∞，+∞）,则f（x）在（-∞，+∞）上
A有L积分值
B广义R可积
CL可积
D积分具有绝对连续性正确答案是：
AD
4、若f,g是有界变差函数，则（）
Af+g有界变差函数
Bfg有界变差函数
Cf/g有界变差函数
Dmax（f,g）有界变差函数正确答案是：
ABD
5、f（x）=sinx/x,x∈（0,+∞）,则f（x）在（0,+∞）上
A广义R可积
B不是广义R可积
CL可积
D不是L可积
正确答案是：
AD
6、若0<=g<=f且f可积，则（）
Ag可积
Bg可测Cg<∞，a.e.
D当g可测时g必可积正确答案是：
CD
7、设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则Am（E1∪E2）+m（E1∩E2）=mE1+mE2
B若E1包含于E2,mE1<=mE2
C若E1包含于E2,m（E2\E1）=mE2-mE1
正确答案是：
ABC
8、若f（x）为Lebesgue可积函数，则（）
Af可测
B|f|可积
Cf^2可积D|f|<∞.a.e.
正确答案是：
ABC
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