版高考数学文一轮复习全国经典版第3章 三角函数解三角形 37aWord文档格式.docx

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解析　由题意可知，∠CAB＝60°

，∠CBA＝75°

，所以∠C＝45°

，由正弦定理得＝，所以BC＝5.

3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°

，灯塔B在观察站C的南偏东40°

，则灯塔A与灯塔B的距离为（　　）

A．akmB.akm

C.akmD．2akm

答案　B

解析　在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·

BC·

cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos120°

＝3a2，故|AB|＝a.

4．[2018·

临沂质检]在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°

、60°

，则塔高为（　　）

A.mB.m

C.mD.m

答案　A

解析　如图，由已知可得∠BAC＝30°

，

∠CAD＝30°

，∴∠BCA＝60°

，∠ACD＝30°

，∠ADC＝120°

又AB＝200，∴AC＝.

在△ACD中，由正弦定理，得

＝，即DC＝＝（m）．

5.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为（　　）

A．8km/hB．6km/h

C．2km/hD．10km/h

解析　设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝＝，从而cosθ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2×

×

2×

1×

，解得v＝6.

6.如图，某工程中要将一长为100m，倾斜角为75°

的斜坡改造成倾斜角为30°

的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.

答案　100

解析　设坡底需加长xm，由正弦定理得＝，解得x＝100.

7.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：

km）：

AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为________km.

答案　7

解析　∵82＋52－2×

8×

5×

cos（π－D）＝32＋52－2×

3×

cosD，∴cosD＝－.∴AC＝＝7（km）．

8.[2018·

河南调研]如图，在山底A点处测得山顶仰角∠CAB＝45°

，沿倾斜角为30°

的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°

，则山高BC为________米．

答案　1000

解析　由题图知∠BAS＝45°

－30°

＝15°

，∠ABS＝45°

－（90°

－∠DSB）＝30°

，∴∠ASB＝135°

，在△ABS中，由正弦定理可得＝，∴AB＝1000，∴BC＝＝1000（米）．

9.[2018·

山西监测]如图，点A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端．

（1）原计划CD为铅垂线方向，α＝45°

，求CD的长；

（2）搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°

，α＝53°

，求CD2.（结果精确到1）

（本题参考数据：

sin97°

≈1，cos53°

≈0.6）

解　

（1）∵CD为铅垂线方向，点D在顶端，∴CD⊥AB.

又∵α＝45°

，∴CD＝AC＝4.

（2）在△ABD中，α＋β＝53°

＋30°

＝83°

，AB＝AC＋CB＝

4＋6＝10，∴∠ADB＝180°

－83°

＝97°

∴由＝得AD＝＝＝≈5.

在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·

ACcosα＝52＋42－2×

4×

cos53°

≈17.

10.如图，在海岸A处发现北偏东45°

方向，距A处（－1）海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°

方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°

方向逃窜．问：

缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？

并求出所需时间．

解　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则CD＝10t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理，有

BC2＝AB2＋AC2－2AB·

AC·

cos∠BAC

＝（－1）2＋22－2（－1）×

＝6，

解得BC＝.

又∵＝，

∴sin∠ABC＝＝＝，

∴∠ABC＝45°

，故B点在C点的正东方向上，

∴∠CBD＝90°

＝120°

在△BCD中，由正弦定理，得＝，

∴sin∠BCD＝＝＝.

∴∠BCD＝30°

，∴缉私船沿北偏东60°

的方向行驶．

又在△BCD中，∠CBD＝120°

，∠BCD＝30°

∴∠D＝30°

，∴BD＝BC，即10t＝，解得t＝小时≈15分钟．

∴缉私船应沿北偏东60°

的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．

[B级　知能提升]

1．[2018·

天津模拟]一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°

的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°

，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°

，那么B，C两点间的距离是（　　）

A．10海里B．10海里

C．20海里D．20海里

解析　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°

，∠ACB＝45°

，根据正弦定理得＝，解得BC＝10（海里）．

2.某观察站B在A城的南偏西20°

的方向，由A出发的一条公路的走向是南偏东25°

.现在B处测得此公路上距B处30km的C处有一人正沿此公路骑车以40km/h的速度向A城驶去，行驶了15min后到达D处，此时测得B与D之间的距离为8km，则此人到达A城还需要（　　）

A．40minB．42minC．48minD．60min

答案　C

解析　由题意可知，CD＝40×

＝10.

cos∠BDC＝＝－，

∴cos∠ADB＝cos（π－∠BDC）＝，

∴sin∠ABD＝sin[π－（∠ADB＋∠BAD）]＝.

在△ABD中，由正弦定理得＝，

∴＝，

∴AD＝32，∴所需时间t＝＝0.8h，

∴此人还需要0.8h即48min到达A城．

3.[2014·

全国卷Ⅰ]如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°

，C点的仰角∠CAB＝45°

以及∠MAC＝75°

；

从C点测得∠MCA＝60°

，已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.

答案　150

解析　在Rt△ABC中，AC＝100m，在△MAC中，由正弦定理得＝，解得MA＝100m，在Rt△MNA中，MN＝MA·

sin60°

＝150m.

即山高MN为150m.

4.如图所示，A，C两岛之间有一片暗礁．一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°

方向直线航行，下午1时到达B处．然后以同样的速度沿北偏东15°

方向直线航行，下午4时到达C岛．

（1）求A，C两岛之间的距离；

（2）求∠BAC的正弦值．

解　

（1）在△ABC中，由已知，得AB＝10×

5＝50（海里），BC＝10×

3＝30（海里），∠ABC＝180°

－75°

＋15°

由余弦定理，得AC2＝502＋302－2×

50×

30cos120°

＝4900，所以AC＝70（海里）．

故A，C两岛之间的距离是70海里．

（2）在△ABC中，由正弦定理，得＝，

sin∠BAC＝＝＝.故∠BAC的正弦值是.

5．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°

，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°

的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.

解　如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°

，设舰艇靠近渔轮所需的时间为th，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·

，所以212t2＝102＋81t2＋2×

9t×

，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－（舍去）．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为h.

此时AB＝14，BC＝6.

在△ABC中，根据正弦定理，得＝，

所以sin∠CAB＝＝，

即∠CAB≈21.8°

或∠CAB≈158.2°

（舍去），

即舰艇航行的方位角为45°

＋21.8°

＝66.8°

.

所以舰艇以66.8°

的方位角航行，需h才能靠近渔轮．