名师导学数学江苏理提高版大一轮复习练习78数学归纳法含答案解析.docx

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名师导学数学江苏理提高版大一轮复习练习78数学归纳法含答案解析

第42课　数学归纳法

【自主学习】

（本课时对应学生用书第108~109页）

自主学习　回归教材

1.（选修2-2P88练习2改编）设n∈N*，用数学归纳法证明2+4+6+…+2n=n2+n时，第一步应证明：

左式=　　　　.

【答案】2

2.（选修2-2P88例4改编）设n∈N*，f（n）=5n+2·3n-1+1，通过计算n=1，2，3，4时f（n）的值，可以猜想f（n）能被数值　　　　整除.

【答案】8

【解析】f

（1）=8=8×1，f

（2）=32=8×4，f（3）=144=8×18，f（4）=680=8×85，所以猜想f（n）能被8整除.

3.（选修2-2P91习题7改编）已知数列{an}满足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9，则可以通过求a2，a3，a4的值猜想出an=　　　　.

【答案】

【解析】由题知a1=1，a2=，a3=，a4=，猜想an=.

4.由1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，…，可得出的一般性结论是　.

【答案】n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2（n∈N*）

【解析】第n个式子的左边首项为n，公差为1，共2n-1项，

所以左边=n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2），式子右边是（2n-1）2.

5.（选修2-2P89例5改编）设n条直线把一个平面分成rn个部分，通过n=1，2，3，4画出图形观察rn可发现rk=1+1+2+3+4+…+k.若利用数学归纳法对此结论进行证明，当n=k+1时，需证rk+1=rk+　　　　.

【答案】k+1

【解析】当n=k+1时，第k+1条直线与前面的k条直线都相交，产生k个交点，这k个交点把这条直线分成了k+1段，且每一段将原有的平面分成两个部分，即增加了k+1个部分.

1.归纳法：

由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法.

2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

（1）证明当n取第一个正整数n0时命题成立；

（2）假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

完成这两步可断定从正整数n0开始的所有命题都成立.

【要点导学】

要点导学　各个击破

　利用数学归纳法证明等式

例1　是否存在常数a，b使等式+++…+=对于一切n∈N*都成立?

若不存在，请说明理由；若存在，请用数学归纳法证明.

【思维引导】先从特殊情形n=1，n=2时等式必须成立，求出a，b的值，然后用数学归纳法的角度加以证明，在这里必须指出的是：

若题目没有讲要用数学归纳法证明，我们也应从数学归纳法考虑，因为等式的左边我们无法通过数列求和的知识解决，其次本题是与自然数有关的命题证明，我们应优先考虑数学归纳法，证明时必须严格遵循数学归纳法的证明步骤，做到规范化.

【解答】若存在常数a，b使等式成立，将n=1，n=2代入等式，有解得a=1，b=4，即有+++…+=对于一切n∈N*都成立.

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，左边==，

右边==，所以等式成立.

（2）假设当n=k（k≥1且k∈N*）时等式成立，

即++…+=，

当n=k+1时，

++…++

=+

=·

=·

=·

=

=，

所以当n=k+1时，等式也成立.

综上所述，等式对任意的n∈N*都成立.

【精要点评】用数学归纳法证明一些等式时，关键在于先看“项”，弄清等式两边构成的规律，等式两边各有多少项，项的多少与n的关系，由n=k到n=k+1时等式两边会增加多少项.

　利用数学归纳法证明不等式

例2　用数学归纳法证明不等式1+++…+<2（n∈N*）.

【解答】

（1）当n=1时，左边=1，右边=2，

所以当n=1时不等式成立.

（2）假设当n=k（k≥2，k∈N*）时不等式成立，

即1+++…+<2，

那么当n=k+1时，左边=1+++…++<2+，

因为4k2+4k<4k2+4k+1，可得2<2k+1，

即2+==<=2，

所以当n=k+1时不等式也成立.

根据

（1）和

（2）可知不等式对所有的n∈N*都成立.

【精要点评】在步骤

（2）的证明过程中，关键是“凑”，一凑假设，二凑结论.充分考虑到由n=k到n=k+1时命题的形式之间的区别与联系.在证明时要注意结合放缩法、比较法、分析法等方法去推理论证.

变式　求证：

1++++…+>（n∈N*）.

【解答】

（1）当n=1时，1>，不等式成立.

（2）假设当n=k（k≥1，k∈N*）时不等式成立，

即1++++…+>，

则当n=k+1时，

1++++…+

=1++++…++++…+

>+++…+

>+

=+=，

所以当n=k+1时，不等式也成立.

由

（1）

（2）知，1++++…+>（n∈N*）.

　利用数学归纳法证明整除问题

例3　已知f（n）=（2n+7）·3n+9，问：

是否存在自然数m，使得对任意的正整数n，都能使m整除f（n）?

如果存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由.

【解答】当n=1时，f

（1）=36；当n=2时，f

（2）=108；当n=3时，f（3）=360.

猜想：

存在最大整数m=36能整除f（n）.

证明：

①当n=1时，由以上知结论成立.

②假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，结论成立，

即f（k）=（2k+7）·3k+9能被36整除，

那么当n=k+1时，

f（k+1）=[2（k+1）+7]·3k+1+9=3[（2k+7）·3k+9]+18（3k-1-1），

由归纳假设知（2k+7）·3k+9能被36整除，

又18（3k-1-1）能被36整除，

所以当n=k+1时，结论也成立.

故由①②可知对任意的正整数n，结论都成立.

变式　用数学归纳法证明：

42n+1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.

【解答】

（1）当n=1时，42×1+1+31+2=91，显然91能被13整除.

（2）假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，42k+1+3k+2能被13整除，

则当n=k+1时，

42（k+1）+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·（42k+1+3k+2），

因为42k+1·13能被13整除，

所以当n=k+1，结论也成立.

综上，42n+1+3n+2（n∈N*）能被13整除.

　归纳—猜想—证明

例4　（2014·广东卷）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，且S3=15.

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）求数列{an}的通项公式.

【思维引导】

（1）利用n=1，2，3可求出a1，a2，a3的值；

（2）利用

（1）中的结论归纳出数列{an}的通项公式，并以此归纳出Sn的表达式，然后利用数学归纳法证明数列{an}的通项公式的正确性.

【解答】

（1）由Sn=2nan+1-3n2-4n得Sn=2n（Sn+1-Sn）-3n2-4n，整理得2nSn+1=（2n+1）Sn+3n2+4n，

因此有4S3=5S2+20，

即4×15=5S2+20，解得S2=8.

同理有2S2=3S1+7，

即2×8=3S1+7，解得S1=3，

所以a1=S1=3，a2=S2-S1=8-3=5，a3=S3-S2=15-8=7.

（2）由题意得an+1=++2，

由

（1）知a1=3，a2=5，a3=7，猜想an=2n+1，

假设当n=k（k∈N*）时，猜想成立，

即ak=2k+1，

则有Sk===k（k+2），

则当n=k+1时，有ak+1=++2=++2=2k+3=2（k+1）+1，

这说明当n=k+1时，猜想也成立.

根据

（1）和

（2）可知，对任意的n∈N*，an=2n+1.

【精要点评】

（1）本试题主要是考查数列的通项公式的求解和数学归纳法证明的运用.

（2）数学归纳法与数列相结合是命题的一种趋势.

（3）主要考查从特殊到一般的推理方式.

变式　设f（n）=-n，其中n为正整数.

（1）求f

（1），f

（2），f（3）的值；

（2）猜想满足不等式f（n）<0的正整数n的取值范围，并用数学归纳法证明你的猜想.

【解答】

（1）f

（1）=1，f

（2）=，f（3）=-.

（2）猜想：

当n≥3时，f（n）=-n<0.

证明：

①当n=3时，f（3）=-<0成立.

②假设当n=k（k≥3，k∈N*）时猜想成立，

即f（k）=-k<0，

所以

则当n=k+1时，

由于=<

所以

即f（k+1）=-（k+1）<0成立，

由①②可知，对n≥3，f（n）=-n<0成立.

1.用数学归纳法证明：

1-+-+…+-=++…+时，第一步应验证：

左式是　　　　，右式是　　　　.

【答案】1-　

2.（2015·哈尔滨模拟）用数学归纳法证明不等式“1+++…+

【答案】2k

【解析】当n=k+1时，左边为1+++…++++…+，增加了++…+，共（2k+1-1）-2k+1=2k项.

3.若f（n）=1+++…+（n∈N*），则对于k∈N*，f（k+1）=f（k）+　　　　　　　　.

【答案】++

【解析】f（k+1）=1+++…+=1+++…+=++…++++=f（k）+++.

4.求证：

49n+16n-1（n∈N*）能被64整除.

【解答】①当n=1时，49+16×1-1=64，能被64整除.②假设当n=k（k∈N*）时，49k+16k-1能被64整除，那么当n=k+1时，49k+1+16（k+1）-1=49（49k+16k-1）-48·16k+48+16=49（49k+16k-1）-64·12k+64，所以当n=k+1时，49k+1+16（k+1）-1也能被64整除.由①②可知对任意的n∈N*，49n+16n-1都能被64整除.

5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）.

（1）求a2，a3，a4的值；

（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明猜想.

【解答】

（1）当n=2时，由S2=4a2，将a1=1代入，得a2=；

当n=3时，由S3=9a3，将a1=1，a2=代入，得a3=；

当n=4时，由S4=16a4，将a1=1，a2=，a3=代入，得a4=.

（2）猜想an=，

证明如下：

当n=1时，a1==1，命题成立.

假设当n=k（k∈N*）时命题成立，

即ak=，

当n=k+1时，Sk+1=（k+1）2ak+1=Sk+ak+1=k2ak+ak+1，

整理得ak+1=，

所以当n=k+1时命题也成立.

综上，当n∈N*时有an=.

趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第83~84页.

【检测与评估】

第42课　数学归纳法

一、填空题

1．用数学归纳法证明2n≥n2（n≥4，n∈N*）时，第一步应验证n=　　　　.

2．若f（n）=1+++…+（n∈N），则当n=1时，f（n）=　　　　.

3．用数学归纳法证明（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·…·（2n-1）（n∈N*）时，从“n=k”到“n=k+1”的证明，左边需要增添的代数式是　　　　.

4．已知f（n）=1+++…+（n∈N*），证明不等式f（2n）>时，f（2k+1）比f（2k）多　　　　项.

5．若f（n）=+++…+（n∈N*），则f（n+1）-f（n）=　　　　.

6．若凸n边形的内角和为f（n），则凸n+1