离散数学练习题含答案Word格式文档下载.docx
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4．下列等值式不正确的是（C）
A．┐（x）A（x）┐A
B．（x）（B→A（x））B→（x）A（x）
C．（x）（A（x）∧B（x））（x）A（x）∧（x）B（x）
D．（x）（y）（A（x）→B（y））（x）A（x）→（y）B（y）
5．谓词公式（x）P（x,y）∧（x）（Q（x,z）→（x）（y）R（x,y,z）中量词x的辖域是（C）
A．（x）Q（x,z）→（x）（y）R（x,y,z））
B．Q（x,z）→（y）R（x,y,z）
C．Q（x,z）→（x）（y）R（x,y,z）
D．Q（x,z）
6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<
a,b>
<
b,a>
c,d>
d,c>
}∪IA，则对应于R的A的划分是（D）
A．{{a},{b,c},{d}}B．{{a,b},{c},{d}}
C．{{a},{b},{c},{d}}D．{{a,b},{c,d}}
7．设A={Ø
}，B=P（P（A）），以下正确的式子是（A）
A．{Ø
{Ø
}}∈BB．{{Ø
Ø
}}∈B
C．{{Ø
},{{Ø
}}}∈BD．{Ø
{{Ø
}}}∈B
8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（A）
A．（X-Y）-Z=X-（Y∩Z）
B．（X-Y）-Z=（X-Z）-Y
C．（X-Y）-Z=（X-Z）-（Y-Z）
D．（X-Y）-Z=X-（Y∪Z）
9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（D）
A．a*b=min（a,b）
B．a*b=a+b
C．a*b=GCD（a,b）（a,b的最大公约数）
D．a*b=a（modb）
10.设R和S是集合A上的关系,R∩S必为反对称关系的是（A）
A．当R是偏序关系,S是等价关系;
B．当R和S都是自反关系;
C．当R和S都是等价关系;
D．当R和S都是传递关系
11.设R是A上的二元关系,且R·
R⊆R,可以肯定R应是（D）
A．对称关系;
B．全序关系;
C．自反关系;
D．传递关系
第二部分非选择题
二、填空题
1．设论域是{a,b,c}，则（x）S（x）等价于命题公式S（a）∧S（b）∧S（c）；
（）S（x）等价于命题公式S（a）∨S（b）∨S（c）。
2．设R为A上的关系，则R的自反闭包r（R）=_R∪_，对称闭包s（R）=_R∪。
3．某集合A上的二元关系R具有对称性，反对称性，自反性和传递性，此关系R是_，其关系矩阵是只有主对角线上元素为1。
三、计算题
1．（4分）如果论域是集合{a,b,c}，试消去给定公式中的量词：
。
2．用等值演算求下面公式的主析取范式。
3．用等值演算法求公式的主合取范式。
4．（6分）在偏序集<
Z,≤>
中，其中Z={1,2,3,4,6,8,12,14}，≤是Z中的整除关系，求集合D={2,3,4,6}的极大元，极小元，最大元，最小元，最小上界和最大下界。
5．设集合A={1,2,3,4,5},A上的划分为＝{{1,2,3},{4,5}},试求：
1）写出划分诱导的等价关系R；
2）写出关系矩阵；
3）画出关系图。
6.设A＝{a，b，c，d}，R是A上的二元关系，且R＝{<
a，b>
，<
b，a>
b，c>
c，d>
}，求r（R）、s（R）和t（R）。
解r（R）＝R∪IA＝{<
a，a>
b，b>
c，c>
d，d>
}
s（R）＝R∪R-1＝{<
c，b>
d，c>
R2＝{<
a，c>
b，d>
R3＝{<
a，d>
R4＝{<
}＝R2
t（R）＝＝{<
四、证明题
1．设R和S是二元关系，证明
2．设A={a,b,c},R={（a,a）,（a,b）,（b,c）},验证rs（R）=sr（R）。
3．设R是A上的二元关系，试证：
R是传递的当且仅当，其中表示。
4．证明下列结论：
（1）
（2）
解：
（1）1P∧QP附加前提
2PT，1，I2
3P∨QT，2，I1
4P∨Q→RP
5RT，3，4，I3
6P∧Q→RCP
（2）1DP假设前提
2D∨AP
3AT，1，2，I5
4（A→B）∧（A→C）P
5A→BT，4，I2
6BT，3，5，I3
7A→CT，4，I2
8CT，3，7，I3
9B∧CT，6，8，合取式
10（B∧C）P
11（B∧C）∧（B∧C）T，9，10，合取式，矛盾
5.已知R和S是非空集合A上的等价关系，试证：
1）R∩S是A上的等价关系；
2）对a∈A，[a]R∩S=[a]R∩[a]S。
∀x∈A，因为R和S是自反关系，所以<
x,x>
∈R、<
∈S，因而<
∈R∩S，故R∩S是自反的。
∀x、y∈A，若<
x,y>
∈R∩S，则<
∈S，因为R和S是对称关系，所以因<
y,x>
∈R∩S，故R∩S是对称的。
∀x、y、z∈A，若<
∈R∩S且<
y,z>
∈S且<
∈S，因为R和S是传递的，所以因<
x,z>
∈R∩S，故R∩S是传递的。
总之R∩S是等价关系。
2）因为x∈[a]R∩S⇔<
x,a>
∈R∩S⇔
<
∈R∧<
∈S⇔x∈[a]R∧x∈[a]S⇔x∈[a]R∩[a]S
所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。
五、应用题
1．所有的主持人都很有风度。
李明是个学生并且是个节目主持人。
因此有些学生很有风度。
请用谓词逻辑中的推理理论证明上述推理。
（论述域：
所有人的集合）
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