江西省南昌市新建二中高三周练卷数学理科试题Word格式.docx

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A.B.C.D.

5.将一块边长为的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体,则此正四面体的一顶点到其

相对面的距离是（）.

A.B.C.D.

6.设地球半径为,若甲地在北纬东经,乙地在北纬西经,则甲、乙两地的球面距离

为（）.

A.B.C.D.

7.在棱长为的正方体中,、是上两动点,且,则三棱锥

的体积为（）.

8.在长方体中,,,,点在上,,点在上

.过作与底面成角的截面,则截面面积是（）.

A.B.C.或D.或

9.若正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比

为（）.

A.B.C.D.

10.如图,四边形、都是边长为的正方形,与平面所成的角为,则当二面角

在范围上变化时,的取值范围是（）

A.B.C.D.

11.三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上,底面

所在的小圆面积为,则该三棱锥的高的最大值为（）.

12.如图,在等腰梯形中,,

为的中点,将与

分别沿、向上折起,使、重合于点,

则三棱锥的外接球的体积为（）.

A.B.C.D.

二.填空题（本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上）

13.正四棱锥的五个顶点在同一球面上,若该正四棱锥的底面边长为,侧棱长为,则此球的表

面积为.

14.已知体积是的正三棱锥的外接球的半径为,且满足,则其外

接球的表面积是.

15.若正六棱锥的底面边长为,侧棱长为,则它的侧面与底面所成的二面角的大小为.

16.点在直径为的球面上,过点作两两垂直的三条弦,若其中一条弦长是另一条弦长的倍,则

这三条弦长之和的最大值是.

三.解答题（本大题4个小题,共44分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）梯形中,,,,,是上的

一点,,连接,将沿折起到,使,设与交于点.

（Ⅰ）求异面直线与所成的角；

（Ⅱ）问：

平面与面是否垂直,为什么？

18.（本小题满分10分）如图,在三棱锥中,,,点、分别是

、的中点,底面.

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）当时,求直线与平面所成角的大小；

（Ⅲ）当取何值时,在平面内的射影恰好为的重心？

19.（本小题满分12分）如图,在直三棱柱中,,,,点、

分别在、上,且,四棱锥与直三棱柱的体积之比为.

（Ⅰ）求异面直线与的距离；

（Ⅱ）若,求二面角的平面角的正切值.

20.（本小题满分12分）由正三棱柱与正四面体组成如图的几何体,

是正的中心.

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求到面的距离；

（Ⅲ）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.

新建二中学年高三数学（文科）周练卷（14）答案

徐唐藩2007.12.25.

的选法共有（D）.

2.已知个男生与个女生站成一排,如果两端不站女生且个女生必须相邻的排法有（C）.

半平面所成的角的正弦值是（B）.

、分别为,的中点,则与所成角的余弦值为（B）.

相对面的距离是（A）.

为（A）.

7.在棱长为的正方体中,、是上两动点,且,则三棱锥

的体积为（D）.

.过作与底面成角的截面,则截面面积是（C）.

为（D）.

10.如图,四边形、都是边长为的正方形,与平面所成的角为,则当二面角

在范围上变化时,的取值范围是（B）

所在的小圆面积为,则该三棱锥的高的最大值为（C）.

则三棱锥的外接球的体积为（C）.

解：

（Ⅰ）证明：

取中点,连结,,则就是

与所成的角.又,,故

.连接,则.

又,,则,

且,所以有,∴.故,

∴.即异面直线与所成的角为.

（Ⅱ）取中点,连,,则且,又,由（Ⅰ）知,

故有,即,所以平面,故平面平面.

∵平面,,,

.以为原点,射线为非负轴,建立空间直角坐标系

（如图）.设则,,,设,则.

（Ⅰ）∵为的中点,∴,

又,故平面.

（Ⅱ）∵,即,可求得平面

的法向量,,

设与平面所成的角为,则.

（Ⅲ）的重心,∴.∵平面,

∴.又,∴,得.

∴,即.反之,当时,三棱锥为正三棱锥,

∴在平面内的射影为的重心.

解法一：

（Ⅰ）因,且,故面,从而,

又,故是异面直线与的公垂线.设的长度

为,则四棱椎的体积为

.而直三棱柱的体积为

.由已知条件,故,解之得.从而

.在直角三角形中,

又因,故.

（Ⅱ）如图,过作,垂足为,连接,因,,故平面

.由三垂线定理知,故为所求二面角的

平面角.在直角中,,

又因,

故,所以.

解法二：

（Ⅰ）如图,以点为坐标原点建立空间直角坐标系,则,

,,则,.设,

则,又设,则,

从而,即.又,所以是异面

直线与的公垂线.下面求点的坐标.

设,则.因四棱锥的体积为

.

而直三棱柱的体积为

.由已知条件,

故,解得，即.从而,,.

接下来再求点的坐标.由,有,即

（1）

又由得．

（2）联立

（1）,

（2）,解得,,

即,得.故．

（Ⅱ）由已知,则,从而,过作,垂足为,连

接,设,则,因为,故①

∵且∴,即②

立①②解得,,即.则,.

.又,

故,因此为所求二面角的平面角.又,从而,

故,为直角三角形,所以.

20.（本小题满分12分）由正三棱柱与正四面体组成如图的几何体,

（Ⅲ）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.

（Ⅰ）证明：

设的中心为,连,.∵平面,

平面,∴、、三点共线,故平面.

（Ⅱ）解：

作平面交于,则为的中点,平面

平面.作交延长线于,则为点到

平面的距离.由,计算得,.

（Ⅲ）解：

连并延长交于,取的中心,连,则

平面,平面.∴异面直线与

所成角的大小即为平面与平面所成二面

角（锐角）的大小.以正四面体的各棱为面对角线

构作正方体（如图）,作且,连结,

则为异面直线与所成角的大小.∵,

∴,,,,,由余弦定理得,

.在中,由余弦定理得,为所求.