届北师大版文科数学圆锥曲线 单元测试Word格式文档下载.docx

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全国卷Ⅰ）设A，B是椭圆C：

＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°

，则m的取值范围是（　　）

A．（0,1]∪[9，＋∞）

B．（0，]∪[9，＋∞）

C．（0,1]∪[4，＋∞）

D．（0，]∪[4，＋∞）

方法一　设焦点在x轴上，点M（x，y）．

过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，

则N（x,0）．

故tan∠AMB＝tan（∠AMN＋∠BMN）

＝＝.

又tan∠AMB＝tan120°

＝－，

且由＋＝1可得x2＝3－，

则＝＝－.

解得|y|＝.

又0<

|y|≤，即0<

≤，结合0<

m<

3解得0<

m≤1.

对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.

则m的取值范围是（0,1]∪[9，＋∞）．故选A．

方法二　当0<

3时，焦点在x轴上，

要使C上存在点M满足∠AMB＝120°

，

则≥tan60°

＝，即≥，

解得0<

当m>

3时，焦点在y轴上，

＝，即≥，解得m≥9.

故m的取值范围为（0,1]∪[9，＋∞）．故选A．

　双曲线

1．（2017·

全国卷Ⅱ）若a>

1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是（　　）

A．（，＋∞）　　B．（，2）

C．（1，）　　D．（1,2）

由题意得双曲线的离心率e＝.

∴e2＝＝1＋.

∵a>

1，∴0<

<

1，∴1<

1＋<

2，

∴1<

e<

.故选C．

C

2．（2016·

全国乙卷）已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（　　）

A．（－1,3）　　B．（－1，）

C．（0,3）　　D．（0，）

由题意得（m2＋n）（3m2－n）>

0，解得－m2<

n<

3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1<

3.

全国卷Ⅰ）已知F是双曲线C：

x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1,3），则△APF的面积为（　　）

因为F是双曲线C：

x2－＝1的右焦点，所以F（2,0）．因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为（2，yP）．

因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±

3，

所以P（2，±

3），|PF|＝3.

又因为A（1,3），所以点A到直线PF的距离为1，

所以S△APF＝×

|PF|×

1＝×

3×

1＝.故选D．

D

4．（2015·

全国卷Ⅱ）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°

，则E的离心率为（　　）

A．　　B．2

不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1（a>

0，b>

0），则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°

－120°

＝60°

∴M点的坐标为（2a，a）．

∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，

∴c＝a，e＝＝.故选D．

5．（2015·

全国卷Ⅰ）已知M（x0，y0）是双曲线C：

－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·

0，则y0的取值范围是（　　）

由题意知a＝，b＝1，c＝，

∴F1（－，0），F2（，0），

∴1＝（－－x0，－y0），2＝（－x0，－y0）．

∵1·

2<

0，∴（－－x0）（－x0）＋y<

0，

即x－3＋y<

0.

∵点M（x0，y0）在双曲线上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<

∴－<

y0<

.

6．（2017·

全国卷Ⅲ）双曲线－＝1（a>

0）的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.

∵双曲线的标准方程为－＝1（a>

0），

∴双曲线的渐近线方程为y＝±

x.

又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.

答案；

5

7．（2015·

x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0,6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．

由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F（3,0），F1（－3,0）．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.因为|AF|＝＝15为定值，所以当（|AP|＋|PF1|）最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处（如图所示）．

由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，

由得y2＋6y－96＝0，

解得y＝2或y＝－8（舍去），

所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F

＝×

6×

6－×

2＝12.

12

8．（2015·

全国卷Ⅱ）已知双曲线过点（4，），且渐近线方程为y＝±

x，则该双曲线的标准方程为________．

法一：

∵双曲线的渐近线方程为y＝±

x，

∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ（λ≠0）．

∵双曲线过点（4，），∴λ＝16－4×

（）2＝4，

∴双曲线的标准方程为－y2＝1.

法二：

∵渐近线y＝x过点（4,2），而<

∴点（4，）在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方（如图）．

∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为

－＝1（a>

0）．由已知条件可得

解得

－y2＝1.

　抛物线

全国甲卷）设F为抛物线C：

y2＝4x的焦点，曲线y＝（＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则＝（　　）

A．　　B．1

C．　　D．2

∵y2＝4x，∴F（1,0）．

又∵曲线y＝（＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，∴P（1,2）．

将点P（1,2）的坐标代入y＝（＞0），得＝2.故选D．

全国乙卷）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为（　　）

A．2　　B．4

C．6　　D．8

设抛物线的方程为y2＝2px（p>

0），圆的方程为x2＋y2＝r2.

∵|AB|＝4，|DE|＝2，抛物线的准线方程为x＝－，

∴不妨设A，D.

∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，

∴∴＋8＝＋5，∴p＝4（负值舍去）．∴C的焦点到准线的距离为4.

3．（2015·

全国卷Ⅰ）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：

y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝（　　）

A．3　　B．6

C．9　　D．12

抛物线y2＝8x的焦点为（2,0），

∴椭圆中c＝2，又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，

从而椭圆的方程为＋＝1.

∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴xA＝xB＝－2，

将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，

由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.故选B．

4．（2014·

全国卷Ⅰ）已知抛物线C：

y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝（　　）

C．3　　D．2

过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C．

5．（2017·

全国卷Ⅱ）过抛物线C：

y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴的上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（　　）

C．2　　D．3

抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝（x－1）．

联立得方程组

解得或

∵点M在x轴的上方，

∴M（3,2）．

∵MN⊥l，

∴N（－1,2）．

∴|NF|＝＝4，

|MF|＝|MN|＝＝4.

∴△MNF是边长为4的等边三角形．

∴点M到直线NF的距离为2.故选C．

B组　高考对接限时训练（十三）

（时间：

35分钟　满分70分）

一、选择题：

本大题共10个小题，每小题5分，共50分．

九江十校二模）已知抛物线C：

y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A（4，y0）为抛物线C上一点，满足|AF|＝p，则p＝（　　）

A．1　　B．2

C．4　　D．8

由题意可知：

抛物线C：

y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上，焦点坐标F，由抛物线的定义可知：

|AF|＝4＋，|AF|＝p，∴＝4＋，则p＝4，故选C．

韶关一模）已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，若|AF|＝3，则直线l的斜率为（　　）

A．1　　B．

由题意可知焦点F（1,0），设A（xA，yA），B（xB，yB），由|AF|＝3＝xA＋1，得xA＝2，又点A在第一象限，故A（2,2），故直线l的斜率为2，选D．

3．设F1，F2是椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°

的等腰三角形，则E的离心率为（　　）

由题意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2＝2c，所以3a＝4c，所以e＝.

4．（2017·

东北四校联考）已知点F1，F2为双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足|PF2|＝|F1F2|，∠F1F2P＝120°

，则双曲线的离心率为（　　）

如图，在△PF1F2中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，又∠F1F2P＝120°

，由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·

|PF2|·

cos120°

＝12c2，所以|PF1|＝2c.

由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝2c－2c＝2（－1）c.

故双曲线的离心率e＝＝＝.

5．从椭圆＋＝1（a>

0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（　　）

由题意可设P（－c，y0）（c为半焦距），OP＝－，AB＝－，由于OP∥AB，∴－＝－，y0＝，把P代入椭圆方程得＋＝1，即