高考数学文热点题型和提分秘籍专题24 等比数列及其前n项和含答案解析Word格式.docx

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设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和。

已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝__________。

【答案】

热点题型二等比数列的判定与证明

例2、已知数列{an}和{bn}满足：

a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝（－1）n（an－3n＋21），其中λ为实数，n为正整数。

（1）对任意实数λ，证明：

数列{an}不是等比数列；

（2）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论。

（2）因为bn＋1＝（－1）n＋1[an＋1－3（n＋1）＋21]＝（－1）n＋1＝－（－1）n（an－3n＋21）＝－bn。

又b1＝－（λ＋18），所以当λ＝－18时，

bn＝0（n∈N*），此时{bn}不是等比数列；

当λ≠－18时，b1＝－（λ＋18）≠0，

由bn＋1＝－bn。

可知bn≠0，所以＝－（n∈N*）。

故当λ≠－18时，数列{bn}是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列。

【提分秘籍】

证明数列{an}是等比数列常用的方法：

一是定义法，证明＝q（n≥2，q为常数）；

二是等比中项法，证明a＝an－1·

an＋1。

若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法。

设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n，设bn＝an＋3，求证：

数列{bn}是等比数列，并求an。

证明：

由Sn＝2an－3n对于任意的正整数都成立，

得Sn＋1＝2an＋1－3（n＋1），

两式相减，得Sn＋1－Sn＝2an＋1－3（n＋1）－2an＋3n，

所以an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝2an＋3，

所以an＋1＋3＝2（an＋3），即＝＝2对一切正整数都成立，所以数列{bn}是等比数列。

由已知得：

S1＝2a1－3，

即a1＝2a1－3，所以a1＝3，所以b1＝a1＋3＝6，即bn＝6·

2n－1。

故an＝6·

2n－1－3＝3·

2n－3。

热点题型三等比数列的性质及其应用

例3．

（1）在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7＝（　　）

A．4B．6

C．8D．8－4

（2）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于（　　）

A．80B．30

C．26D．16

（2）由等比数列性质得，

Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，

则（S2n－Sn）2＝Sn·

（S3n－S2n），

所以（S2n－2）2＝2×

（14－S2n）。

又S2n>

0，得S2n＝6，

又（S3n－S2n）2＝（S2n－Sn）（S4n－S3n），

所以（14－6）2＝（6－2）（S4n－14）。

解得S4n＝30。

等比数列的性质可以分为三类：

①通项公式的变形，

②等比中项的变形，

③前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口。

在等比数列中，已知a1aa15＝243，则的值为（　　）

A．3B．9C．27D．81

【答案】B

【2016高考天津文数】

（本小题满分13分）

已知是等比数列，前n项和为，且.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）解：

设数列的公比为，由已知，有，解得.又由，知，所以，得，所以.

（Ⅱ）解：

由题意，得，即是首项为，公差为的等差数列.

设数列的前项和为，则

【2015高考广东，文13】若三个正数，，成等比数列，其中，，则．

【答案】1

【解析】因为三个正数，，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：

1．

【2015高考新课标1，文13】数列中为的前n项和，若，则.

【答案】6

1．（2014·

重庆卷）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（　　）

A．a1，a3，a9成等比数列

B．a2，a3，a6成等比数列

C．a2，a4，a8成等比数列

D．a3，a6，a9，成等比数列

【答案】D　

【解析】因为在等比数列中an，a2n，a3n，…也成等比数列，所以a3，a6，a9成等比数列．

2．（2014·

安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.

【答案】1　

【解析】因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q＝1.

3．（2014·

广东卷）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________．

【答案】50　

【解析】本题考查了等比数列以及对数的运算性质．∵{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12＝2e5，

∴a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10a11＝e5，

∴lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln（a1a2…a20）＝

ln（a10a11）10＝ln（e5）10＝lne50＝50.

4．（2014·

全国卷）等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于（　　）

A．6B．5

C．4D．3

【答案】C　

5．（2014·

湖北卷）已知等差数列{an}满足：

a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式．

（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>

60n＋800？

若存在，求n的最小值；

若不存在，说明理由．

（1）设数列{an}的公差为d，

依题意得，2，2＋d，2＋4d成等比数列，

故有（2＋d）2＝2（2＋4d），

化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.

当d＝0时，an＝2；

当d＝4时，an＝2＋（n－1）·

4＝4n－2.

从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.

（2）当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<

60n＋800，

此时不存在正整数n，使得Sn>

60n＋800成立．

当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.

令2n2>

60n＋800，即n2－30n－400>

0，

解得n>

40或n<

－10（舍去），

此时存在正整数n，使得Sn>

60n＋800成立，n的最小值为41.

综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；

当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.

6．（2014·

新课标全国卷Ⅱ）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.

（1）证明是等比数列，并求{an}的通项公式；

（2）证明＋＋…＋＜.

（2）证明：

由

（1）知＝.

因为当n≥1时，3n－1≥2×

3n－1，

所以≤，即＝≤.

于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<

.

所以＋＋…＋<

7．（2014·

山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝（－1）n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.

【解析】

（1）因为S1＝a1，S2＝2a1＋×

2＝2a1＋2，

S4＝4a1＋×

2＝4a1＋12，

由题意得（2a1＋2）2＝a1（4a1＋12），解得a1＝1，

所以an＝2n－1.

（2）由题意可知，

bn＝（－1）n－1

＝（－1）n－1

＝（－1）n－1.

当n为偶数时，

Tn＝－＋…＋－

＝1－

＝.

当n为奇数时，

Tn＝－＋…－＋

＝1＋

所以Tn＝

8.（2014·

陕西卷）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

（1）若a，b，c成等差数列，证明：

sinA＋sinC＝2sin（A＋C）；

（2）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．

（2）∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.

由余弦定理得

cosB＝＝≥＝，

当且仅当a＝c时等号成立，

∴cosB的最小值为.

9．（2014·

天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．

【答案】－　

【解析】∵S2＝2a1－1，S4＝4a1＋×

（－1）＝4a1－6，S1，S2，S4成等比数列，

∴（2a1－1）2＝a1（4a1－6），解得a1＝－.

10．（2014·

天津卷）已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，

集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．

（1）当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.

（2）设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：

若an<

bn，则s<

t.

（1）当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·

2＋x3·

22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．

（2）证明：

由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及an<

bn，可得

s－t＝（a1－b1）＋（a2－b2）q＋…＋（an－1－bn－1）qn－2＋（an－bn）qn－1

≤（q－1）＋（q－1）q＋…＋（q－1）qn－2－qn－1

＝－qn－1

＝－1<

所以s<

11．（2013·

新课标全国卷Ⅰ）若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________．

（－2）n－1

12．（2013·

北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.

（1）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，an＋4＝an），写出d1，d2，d3，d4的值；

（2）设d是非负整数，证明：

dn＝－