高中数学122非否定学案新人教B版选修2Word文件下载.docx
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它的否定是綈q：
∃x∈A，綈q（x）．
全称命题的否定是存在性命题．
5．开句
含有变量的语句，通常称为开句或条件命题．
1．命题：
对任意x∈R，x3－x2＋1≤0的否定是（ ）
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>
D．对任意x∈R，x3－x2＋1>
【解析】 全称命题的否定为存在性命题．
【答案】 C
2．对下列命题的否定说法错误的是（ ）
A．p：
能被2整除的数是偶数；
綈p：
存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：
有些矩形是正方形；
所有的矩形都不是正方形
C．p：
有的三角形为正三角形；
所有的三角形不都是正三角形
D．p：
∃x∈R，x2＋x＋2≤0；
∀x∈R，x2＋x＋2>
【解析】 “有的三角形为正三角形”的否定为“所有的三角形都不是正三角形”，故选C.
[质疑·
手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
________________________________________________________
解惑：
疑问2：
疑问3：
[小组合作型]
命题的否定
写出下列命题的否定，并判断真假．
（1）若x，y是奇数，则x＋y是偶数；
（2）若xy＝0，则x＝0或y＝0；
（3）若一个数是质数，则这个数一定是奇数；
（4）若两个角是对顶角，则这两个角相等．
【精彩点拨】 明确命题的条件和结论→对命题的结论进行否定→
判断真假
【自主解答】
（1）若x，y是奇数，则x＋y不是偶数，假命题．
（2）若xy＝0，则x≠0且y≠0，假命题．
（3）若一个数是质数，则这个数不一定是奇数，真命题．
（4）若两个角是对顶角，则这两个角不相等，假命题．
1．一些常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系要熟悉，总结如下：
正面
词语
等于
（＝）
大于
（>
）
小于
（<
有
是
都是
全是
否定
不等于
（≠）
不大于
（≤）
不小于
（≥）
无
不是
不都是
不全是
任意的
任意
两个
至少
有一个
至多
所有的
有n个
或
某个
某两个
一个也
没有
至少有
某些
n＋1个
且
2.当命题p真假不易判断时，可以转化为去判断命题綈p的真假，当命题綈p为真时，命题p为假，当命题綈p为假时，命题p为真．
[再练一题]
1．写出下列命题的否定，并判断真假．
（1）p：
y＝sinx是周期函数；
（2）p：
3<
2；
（3）p：
空集是集合A的子集；
（4）一元二次方程至多有两个解.
【导学号：
15460009】
【解】
（1）綈p：
y＝sinx不是周期函数．命题p是真命题，綈p是假命题；
（2）綈p：
3≥2.命题p是假命题，綈p是真命题；
（3）綈p：
空集不是集合A的子集，命题p是真命题，綈p是假命题．
（4）綈p：
一元二次方程至少有三个解，命题p是真命题，綈p是假命题.
全称命题的否定
判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
（1）三角形的内角和为180°
；
（2）每个二次函数的图象都开口向下；
（3）任何一个平行四边形的对边都平行；
（4）负数的平方是正数．
【精彩点拨】 先判断命题的真假，再写出命题的否定．
【自主解答】
（1）结合三角形内角和定理可知命题为真命题．
命题的否定：
存在一个三角形且它的内角和不等于180°
.
（2）二次函数的图象开口可上可下，所以本命题为假命题．
存在一个二次函数的图象不开口向下．
（3）结合平行四边形的定义可知为真命题．
存在一个平行四边形的对边不平行．
（4）本命题为真命题．
某个负数的平方不是正数．
1．否定全称命题时，首先把全称量词改为存在量词，再对性质q（x）进行否定．
2．有的全称命题省略了全称量词，否定时要先理解其含义，再进行否定．如本例
（1）应理解为“每个三角形的内角和都为180°
”．
2．写出下列命题的否定，并判断其真假．
（1）任何一个素数是奇数；
（2）所有的矩形都是平行四边形；
（3）∀a，b∈R，a2＋b2>
0；
（4）被5整除的整数，末位数字是0.
【解】
（1）其否定为：
存在一个素数不是奇数，因为2是素数，而不是奇数，所以其否定是真命题．
（2）其否定为：
存在一个矩形不是平行四边形，假命题．
（3）其否定为：
∃a，b∈R，a2＋b2≤0，真命题．
（4）其否定为：
存在被5整除的整数，末位数字不是0，因为15能被5整除，其末位数字为5，
因此其否定是真命题．
存在性命题的否定
写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．
（1）有些实数的绝对值是正数；
（2）有些平行四边形是菱形；
（3）∃x∈R，x2＋1<
（4）∃x，y∈Z，使得x＋y＝3.
【精彩点拨】 写命题的否定时注意更换量词并否定结论．
【自主解答】
（1）命题的否定是：
“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．为假命题．
（2）命题的否定是：
“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
（3）命题的否定是：
“∀x∈R，x2＋1≥0”．由于x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．
（4）命题的否定是：
“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．
∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
因此命题的否定是假命题．
1．存在性命题的否定为全称命题，即命题“∃x∈M，p（x）”的否定为“∀x∈M，綈p（x）”．
2．只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如：
三角形存在外接圆．这个命题是全称命题，量词“所有的”被省略了，所以，这个命题的否定是：
有些三角形不存在外接圆．
3．写出下列存在性命题的否定，并判断其真假．
∃x>
1，使x2－2x－3＝0；
若an＝－2n＋10，则∃n∈N＋，Sn<
∃x∈R，x>
（4）p：
∃x∈R，x2<
0.
∀x>
1，使x2－2x－3≠0，假命题．
若an＝－2n＋10，则∀n∈N＋，Sn≥0，假命题．
∀x∈R，x≤2，假命题．
∀x∈R，x2≥0，真命题．
[探究共研型]
存在性命题，全称命题的综合应用
探究 我们学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p，如何得到命题p的否定（或綈p），它们的真假性之间有何联系？
【提示】 对命题p加以否定，可得到命题綈p，命题p和綈p的真假性相反．
已知函数f（x）＝4x2－2（p－2）x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f（c）>
0.求实数p的取值范围．
【精彩点拨】 利用命题的否定求解．
【自主解答】 在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f（c）>
0的否定是在[－1,1]上的所有实数x，都有f（x）≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，
即
∴p≥或p≤－3.
故p的取值范围是－3<
p<
通常对于含有“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算．
4．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>
3”的否定是____________．
【解析】 命题为全称命题，其否定为存在性命题，“>
”的否定为“≤”，
所以应为存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3.
【答案】 存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3
[构建·
体系]
1．命题p：
“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“綈p”形式的命题是（ ）
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
C．对任意的实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根
【解析】 命题p为存在性命题，綈p应为全称命题．
2．已知命题p：
1∈{x|（x＋2）（x－3）<
0}，命题q：
∅＝{0}，下列判断正确的是（ ）
15460010】
A．p假q真 B．“p∨q”为真
C．“p∧q”为真D．綈p为真
【解析】 （x＋2）（x－3）<
0⇔－2<
x<
3，
∴p为真，而q为假，则p∨q为真．
【答案】 B
3．命题：
方程x2＝4的解是x＝2或x＝－2的否定是________．
【解析】 方程x2＝4的解是x＝2或x＝－2，则它的否定：
方程x2＝4的解不是2也不是－2.
【答案】 方程x2＝4的解不是2也不是－2
4．已知p（x）：
x2＋2x－m>
0，如果p
（1）是假命题，p
（2）是真命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】 ∵p
（1）是假命题，p
（2）是真命题．
∴
∴3≤m<
8.
【答案】 [3,8）
5．分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：
点P（1,1）在直线2x＋y－1＝0上，q：
直线y＝x过圆x2＋y2＝4的圆心；
4∈{2,3,4}，q：
不等式x2－x－2＞0的解集为{x|－2＜x＜1}；
若a＞b，则2a＞2b，q：
若a＞b，则a3＞b3.
【解】
（1）∵p是假命题，q是真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．
（2）∵p是真命题，q是假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
（3）∵p是真命题，q是真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p
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