伴随矩阵的性质及其应用Word文档格式.docx
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1.伴随矩阵的定义
2.首先我们给出伴随矩阵和逆矩阵的定义。
An2
Ann
称为A的伴随矩阵。
定义2:
设A为n阶方阵，如果有矩阵B满足AB=BA=ESUB就称为A的逆矩阵,
记为B=A'
。
由以上定义我们看到只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。
3.伴随矩阵的性质
2.1伴随矩阵与逆矩阵之间的关系
性质1:
设A为n阶方阵，AA*=A*A=AE.
该性质可以用来求矩阵的逆和伴随矩阵，是最直接常用的方法，也是最一般的用
性质2:
n阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A的行列式不等于零，即
证明：
由性质.知AA*=A*A=AE，故G命亡宀常
该性质用来直接求逆矩阵，对于求逆矩阵和矩阵的证明问题非常有用性质3:
若A为非奇异矩阵，则（A」）*=（A*）」.
1
因为（kA）」二A」，由性质2两边取逆可得
k
A二A（A*）」故（A*宀-A,
另一方面，由性质2有（A」）°
=A（A」）*=A（A‘）*=（A"
1）*=丄A，A|a|
由（A°
）*-（A*）‘.
该性质说明了A的逆的伴随矩阵和A的联系，也是常考的部分，有效的掌握对于
解题很有帮助•
2.2伴随矩阵秩的性质
n，当秩A=n时
性质4:
设A为n阶矩阵，则秩A*=当秩A=n-1时.
0,当秩A兰n—2时
（1）当秩A=n时，贝UA=0,A是可逆的，即有A’存在，所以
可见，秩A=n
反之，当秩A=n时，A可逆时，则有（A），存在，所以
A=A（A*）=
必有A=0，否则，由上式知A=0,从而A=0，这与秩A=n矛盾，所以A=0,
于是秩（A）=n;
（2）当秩（A）=n_1时，则A必有一个n_1阶子式不为0,即A*中至少有一个元素不为0，
所以，秩（A*）_1，另外秩（A）=n—1.则A=0,于是，AA*=|AE=0.
从而，秩（A）+秩（A*）_n,故秩（A*）_1这便知秩（A*）1.
反之若秩（A*）=1，则A*中必有一个Aj式0，即是说A必有一个n-1阶子式不为零，故秩
A_n-1但不能有秩（A）=n，否则，有秩A*=n，而n_2,这样与秩（A*）=1矛盾,
所以秩（A）-n，则秩（A）<
n_1，因此，秩（A）=n_1
（3）当秩（A）vn—1时，则A中一切n—1阶子式均为0,于是一切Aj=0,
A*-0所以，这时有秩（A*）=0,反之，若秩（A*）=0,则A*=0,即一切Aj-0,亦即A的一切n-1阶子式为0,所以秩（A）<
n-1.
这是矩阵一章中综合性较强的问题，一方面注意到矩阵A的秩等于A的非零子式的最高阶数，另一方面注意到A*的元素都是A的元素的n-1阶子式.该性质可以用来求A的伴随矩阵的秩，A的秩可以直接求出，通过A的秩可以直接求出A的伴随矩阵的秩.
性质5:
秩A*一秩A.
2.3伴随矩阵行列式的性质
性质6：
A*=An」，其中A是n阶方阵（n>
2）
综合得A*=A
性质7:
若A是n阶非零实矩阵，A、A*,则A^0.
用反证法，若制=0,则AA'
=AA*=|AE=0,令一方面，设A=（aj））R俪
n
■—ani
i4
由
（2）式主对角元素均等于0,可得aj=0,（i,j=1,2,…,n）,此即A=0,这与非零
矩阵的假设矛盾，.円=0.
i1
条件A是实方阵中“实”字不能少，否则，比如设A=|i"
则A=A*,但A=0〔-1i」U
2.4伴随矩阵的继承性
性质8令A,B为n阶矩阵，则
（1）A对称=A*对称；
（2）A正交=A正交；
（3）若A与B等价，则A*与B*也等价；
（4）若A与B相似，则A*与B*也相似；
（5）若A与B合同，则A*与B*也合同；
（6）A氓A*二B*；
（7）A正定=A*正定；
（8）A为可逆矩阵=A*为可逆矩阵；
（9）如果A是可逆矩阵，那么A为反对称=A*为反对称.
这里只证
（1），
（2），其余的这里就不再证明了。
（1）（A*）t=（At）*二A*,A*为对称矩阵；
（2）因为A是正交矩阵，故
AAt=E,A（A）=A（At）=（AtA）二E二E=A是正交矩阵.
从该性质我们看到方阵有很多的性质是能“遗传”给它的伴随矩阵的，因此我们
在不求矩阵伴随的时候就能通过原矩阵的性质去判断伴随矩阵的性质了。
2.5（A*）*的性质
性质9：
（A*）*=（A*）T.
这个证明比较简单，在这里就不详细证明了，读者可自行证明.
性质10一切代幼（不一定A非奇异）都有（A*）*=A'
^A.
a*|=a2
（i）当秩A=n时，|A式0,A可逆，用A-1左乘式子AA*=AE两边得，A*=|AA」
用A换A*得，（A*）*=A*（A*）」=An」（£
）=A^A
|a|
（ii）当秩A乞n-1时，则秩A*<
1,A=0,从而秩（A*）*=0,则（A*）*=0=An-2A,综合即证（A*）*=An，A.
该性质讨论了A的伴随矩阵的伴随矩阵和A的关系，一些问题会涉及此性质，应多加注意.
2.6伴随矩阵的其他性质
性质11:
若A为n阶矩阵，则（aA）*=an4A*.（a为实数）
设人=佝）'
n再设aA=（bj）nn，
那么bij为行列式aA中划去第j行和第i列的代数余子式（n-1阶行列式），
其中每行提出公因子a后，可得bj=an4Aji（i,j=1,2,....,n），
由此即证（aA）*=an4A*.
数乘矩阵的伴随矩阵可以用该性质很好的得出，本性质是一些选择、填空常考点.
性质12设A,B均为n阶方阵，则（AB）*二B*A*.
当AB式0时，这时A式0,B式0,由公式A*=AA^
可得（AB）*=|AB（AB），=BB，AA，=B*A*,结论成立.
AB=0时，考虑矩阵A（■）A—E,B（）=B-E,由于A和B都最多只有
限个特征值，因为存在无穷多个&
使A（k）学0,BQJ鼻0（3）
那么由上面的结论有（A（•）B（•））*=b（）a*（.）（4）
令（A（■）B（■）=（fj（））nn,B（'
）A（）=（gj（））nn，则有
fj（0=gj（）,（i,j=1,2厂，n）（5）
由于有无穷多个■使（5）式成立，从而有无穷多个，使（5）式成立，但fj（）,gij（）都是多项式，从而（3）式对一切■都成立，特别令•=0,这时有
（AB）*=（A（0）B（0））*二B*（0）A*（0）=B*A*.
该性质是一些题目的常考点，把求AB的伴随矩阵转化为求A的伴随矩阵和B的
伴随矩阵的问题，可以很有效的解决问题.
性质13：
如果矩阵A可逆，令■为它的特征值，：
•是A的属于■的特征向量，则
A*的特征值是■JA是A*的属于，」A的特征向量.
由于A可逆，所以■=0,由于A〉=.】二，左边乘以A*得,A*A〉=，A*：
•，
故Aa='
fa.
性质14：
若A为n阶方阵且矩阵的行列式不为零，那么A*可表示为A的多项式形式•
A的特征多项式是f「）Vn-an■nJ■L■a<
■a0.因为A可逆，所以
a。
=（-1）nA7.由哈密顿-凯莱定理知f（A）=0,即
Anan4An4La,Aa0E=0
-—（An4an4An^La1E）^E
3q
右乘A,得
（An4an4An^La^）二A*
故A=^（-1）nl（Anl■anAAn~LyE）.
该性质把A的伴随矩阵转化为A的多项式形式
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