扭转切应力Word格式文档下载.docx

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应用此公式时要注意单位。

将圆轴表面如图划分为许多小方块，这些小方块可近似地看作矩形。

轴受扭以后，小方块就发生变形，变成菱形。

如图是放大后的情形。

产生这样的变形是因为在两个横截面上出现了切应力。

作用在AB、CD面上的切应力组成一个力偶，显然它是不能使这个微元平衡的，因此，在两个纵截面上也产生切应力。

通过应变知道横截面上有切应力，再通过平衡知道纵截面上也有切应力。

微元的直角改?

横截面上和纵截面上的切应力有何关系？

我们取出如图微元分析，横截面上的切应力τ乘以其作用面积dydz，再乘以力臂dx，组成一个力偶；

纵截面上的切应力τ'

也同样组成一个力偶，这两个力偶是大小相等，方向相反的。

最后消掉公因子dxdydz,就得到τ=τ'

。

根据平衡的要求?

圆轴扭转时横截面上的切应力

根据变形特征和切应力互等定理，现在分析圆轴扭转时横截面上的切应力。

反对称分析论证平面保持平面

由平面保持平面导出变形协调方程

由物性关系得到应力分布

切应力公式

方法与过程

首先用反对称关系。

如图，对称圆轴两端作用一对反对称的力偶，横截面上C、D两点若不保持在原来的平面上，则从A端看，力偶是顺时针方向的，这两点背离观察者而去的；

若从B端看，力偶也是顺时针方向的，C、D两点也背离观察者而去。

显然这是矛盾的，因此，C、D两点只能?

第一个结论

圆轴扭转时，横截面保

持平面，平面上各点只能

在平面内转动

还可以用反对称关系作进一步分析这些平面上的点移动的规律。

观察截面上的一条直径，若发生扭曲，当分别从A、B两端看过去时，一次呈S形，一次呈反S形，同样产生矛盾的结论。

最终结论

持平面，并且只能发生刚

性转动。

也就是说，任意

直径在转动后仍然保持直

径。

根据这个关系分析两个相邻截面，从而得到变形协调方程。

如图，取出一个微段，相邻两个截面在扭矩的作用下转过一个角度dφ，因此，直线AC变成AC'

，BD变成BD'

，ABCD这个小方块产生角应变γ（R）。

从里到外各同心圆表面产生的切应变是不相同的，设到轴线任意远ρ处的切?

切应变γ和半径ρ成正比。

有了切应变的几何关系，即变形协调方程，但还没有和切应力联系起来，所以还要建立物性关系，得到应力分布。

切应变和切应力在弹性范围内加载时满足线性关系，即剪切胡克定律：

τ=Gγ，G就是切变模量。

于是从刚才切应变分布就可以得到切应力分布。

在整个横截面上，切应力表达式就是如图所示，它与ρ成正比。

由此画出的切应力分布图有两个特点：

一，在横截面同一个圆轴上各点切应力相同，因为ρ是相同的；

二，沿着半径方向切应力是线性分布的，在轴心上为零，在轴表面?

由切应力分布还不能得到切应力公式，还需要静力学方程。

如上图（右）横截面上任意取一个微元，即很薄的一个圆环，这个微元上切应力都相等，作用在此微元上所有的力对轴心的力偶矩就等于扭矩，即图示静力学方程。

我们已经知道τ（ρ）的分布公式，将它代入，求出扭矩。

于是就能求出切应力。

首先得到图示的公式，其中GIP是扭转刚度，IP是截面的极惯性矩。

这个公式表示一个微段的两个横截面之间的扭转角。

dφ/dx就叫做单位长度上的扭转角，或者叫扭转角的变化率。

得到的第二个公式

圆轴扭转时横截面上的最大切应力

刚才是任意一点的切应力公式，已知横截面上最外沿那点切应力取最大值，所以最大切应力就等于扭矩除以扭转截面系数WP，其表达式如图，和弯曲截面系数有相似之处。

截面的极惯性矩与扭转截面系数

截面的极惯性矩与扭转截面系数又如何求法呢？

对于实心圆截面，可以用积分的方法求出如图结果；

对于圆环截面，同样可求出如图结果，请思考，为何WP的表达式最后一项会与IP最后一项相同，都是α4，而不是α3？

对于实心圆截面

对于圆环截面

例题1

已知：

如图两轴牙嵌式连接，P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外

径之比=0.5。

求：

实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。

轴承受的扭矩就等于外加的力偶矩，可直接求解；

再写出实心轴最大切应力的表达式，其中只有d1是未知的，于是求出d1；

同理求出D2，这样，就能求出两轴截面积之比，即重量之比。

例题2

如图机构，E轴输入功率，P1＝14kW，n1=n2=120r/min，z1=36，�

z3=12；

d1=70mm，d2=50mm，d3=35mm。

各轴横截面上的最大切应力。

先求出各轴功率与转速，结果如图。

由此算出三个扭矩。

进一步求出最大切应力。

可以看到第二根轴上横截面的切应力最大。

以上讲的是圆截面上的扭转切应力，现在介绍矩形截面杆扭转切应力公式。

矩形截面杆扭转切应力

由平衡直接得到的结论

切应力分布

狭长矩形截面

翘曲

圆轴扭转后横截面保持平面，而对于矩形杆件，横截面扭转后发生翘曲，不再保持平面。

角点切应力等于零 

边缘各点切应力沿切线方向

首先来看由平衡可以得到什么结论：

在角点取出一个微元，由于杆件表面不受力，根据切应力成对定理，角点切应力等于零；

沿着切面的各个边缘的方向取微元，同样根据切应力成对定理可得，边缘各点切应力应沿切线方向。

若不沿切线方向，而沿着与边界相交的某个方向，又会?

现在介绍矩形截面扭转时切应力的分布，可以用弹性力学的理论分析出来，也可用实验的方法，即薄膜比拟的方法解决。

书中已有详细介绍，这儿仅给出三个结论：

角点切应力等于零；

边缘各点切应力沿切线方向；

最大切应力发生在长边中点。

最大切应力可由如图公式确定，短边中点切应力也有公式确定，C1'

与矩形截面的高度和宽度之比有关系。

对于狭长的矩形截面，由于厚度δ比较小，切应力可以近似看作线性分布。

此时C1=1/3，τmax=3Mx/hδ2，这个公式是相当重要的。

矩形截面结论延伸

开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力

用狭长的矩形截面来分析开口的圆环与闭口的薄壁圆环的扭转切应力有何差别。

闭口的圆环可以用圆环WP的公式来计算切应力，但是有一个特殊情形，就是当壁厚比较薄时，可以认为横截面上沿着厚度的切应力是均匀的，这样就能得到一个很简单的公式，请自行导出此公式。

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