名师导学数学江苏理提高版大一轮复习练习24函数的奇偶性含答案解析.docx

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名师导学数学江苏理提高版大一轮复习练习24函数的奇偶性含答案解析

第7课　函数的奇偶性

【自主学习】

（本课时对应学生用书第14~16页）

自主学习　回归教材

1.（必修1P43练习6改编）函数f（x）=是　　　　函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）

【答案】奇

【解析】由题知定义域{x|x∈R，且x≠0，x≠±1}关于原点对称，且f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数.

2.（必修1P94习题28改编）若f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）=2x-3，则f（-2）=　　　　.

【答案】-1

【解析】f（-2）=-f

（2）=-1.

3.（必修1P55习题8改编）若函数f（x）=（x+a）（x-4）为偶函数，则实数a=　　　　.

【答案】4

【解析】因为函数f（x）=（x+a）（x-4）为偶函数，所以f（-x）=f（x），由f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，得x2-（a-4）x-4a=x2+（a-4）x-4a，即a-4=0，a=4.

4.（必修1P43习题4改编）已知函数f（x）=4x2+bx+3a+b是偶函数，其定义域为[a-6，2a]，则点（a，b）的坐标为　　　　　.

【答案】（2，0）

【解析】因为f（x）为偶函数且定义域为[a-6，2a]，所以即故点（a，b）的坐标为（2，0）.

5.（必修1P111复习题17改编）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，f

（1）=2，则不等式f（lgx）>2的解集为　　　　.

【答案】∪（10，+∞）

【解析】因为f（x）为偶函数，所以由f（lgx）>2f（|lgx|）>2=f

（1），又因为f（x）在[0，+∞）上是增函数，所以|lgx|>1，所以010，故不等式f（lgx）>2的解集为∪（10，+∞）.

1.奇、偶函数的定义

对于函数f（x）定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x）（或f（-x）+f（x）=0），则称f（x）为奇函数；对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）-f（x）=0），则称f（x）为偶函数.

2.奇、偶函数的性质

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.

（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.

（3）若奇函数的定义域包含0，则f（0）=0.

（4）定义在（-∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.

【要点导学】

要点导学　各个击破

　函数奇偶性的判定

例1　判断下列各函数的奇偶性.

（1）f（x）=；

（2）f（x）=+；

（3）f（x）=|x+2|-|x-2|；

（4）f（x）=

【思维引导】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，解析式带绝对值符号的，要利用绝对值的意义判断f（-x）与f（x）的关系，分段函数应分情况判断.

【解答】

（1）定义域是{x|x≠1}，不关于原点对称，

所以f（x）是非奇非偶函数.

（2）定义域是{-1，1}，f（x）=0，

所以f（x）既是奇函数又是偶函数.

（3）定义域是R，f（-x）=|-x+2|-|-x-2|=-（|x+2|-|x-2|）=-f（x），

所以f（x）是奇函数.

（4）当x<0时，-x>0，

则f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x=f（x）；

当x>0时，-x<0，

则f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x=f（x）.

综上所述，对任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数.

【精要点评】利用定义判断函数奇偶性的步骤：

（1）首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称.

（2）确定f（-x）与f（x）的关系.

（3）作出相应结论：

若f（-x）=f（x）或f（-x）-f（x）=0，则f（x）是偶函数；若f（-x）=-f（x）或f（-x）+f（x）=0，则f（x）是奇函数.

变式　求证：

函数f（x）=x+a（其中a为常数）为偶函数.

【解答】易知此函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称.

因为f（-x）=-x+a=x+a=x+a=x+a=f（x），

所以f（x）=x+a为偶函数.

【精要点评】函数奇偶性的证明与函数奇偶性的判断的区别在于我们已经知道函数具有奇偶性，从而有了解决问题的方向，只是在对式子的变形上可能要下一定的功夫，特别是对于抽象函数我们还是要牢牢抓住奇偶性的定义找到解决问题的突破口.

　函数奇偶性的应用

例2　

（1）已知函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数.当x∈（-∞，0）时，f（x）=x-x4，则当x∈（0，+∞）时，f（x）=　　　　　.

（2）（2014·湖南卷改编）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+1，则f

（1）=　　　　，g

（1）=　　　　.

【思维引导】

（1）要求f（x）在（0，+∞）上的表达式，由于已知f（x）在（-∞，0）上的表达式，因此解答本题可先设x∈（0，+∞），然后将它转化到已知解析式的区间（-∞，0）上，最后利用函数的奇偶性定义即可得出结论.

（2）先利用函数的奇偶性，确定f（x）和g（x）的解析式，然后代值计算.

【答案】

（1）-x-x4　

（2）2　-1　

【解析】

（1）当x∈（0，+∞）时，有-x∈（-∞，0），注意到函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，于是有f（x）=f（-x）=-x-（-x）4=-x-x4.

（2）由题意得f（-x）-g（-x）=-x3+x2+1，

因为f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，

所以f（x）+g（x）=-x3+x2+1，

联立f（x）-g（x）=x3+x2+1，

解得f（x）=x2+1，g（x）=-x3，

所以f

（1）=2，g

（1）=-1.

【精要点评】

（1）解决本题第

（1）问的关键是利用偶函数的关系式f（-x）=f（x）成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量x，然后把x转化为-x（另一个已知区间上的解析式中的变量），通过适当的推导，求出所求区间上的解析式.

（2）本题第

（2）问也可以直接用赋值法解决，即赋值x=±1，然后利用奇偶性化归为关于f

（1）和g

（1）的方程组，进行求解.

变式　

（1）若f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（-1）=　　　　.

（2）已知f（x）=是奇函数，且f

（2）=，那么p=　　　　，q=　　　　.

【答案】

（1）-3　

（2）2　0　

【解析】

（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，

所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=-1，

故当x≥0时，f（x）=2x+2x-1，

所以f（-1）=-f

（1）=-（2+2×1-1）=-3.

（2）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）+f（x）=0，

即+=0，得q=0.

又由f

（2）=，得=，解得p=2.

　函数奇偶性与单调性的综合应用

微课2

●问题提出

奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.抽象函数中的不等式问题，核心是去掉抽象函数中的符号“f”，除了画出草图利用数形结合思想求解外，本质是利用奇偶性和单调性.那么，求解此类问题的解题模板是怎样的呢?

●典型示例

例3　已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，对任意的实数a∈R，f（-a）+f（a）=0恒成立，且f（-3）=2.

（1）试判断函数f（x）在R上的单调性，并说明理由；

（2）解关于x的不等式：

f+f（m）<0，其中m∈R且m>0.

【思维导图】

【规范解答】

（1）函数f（x）为R上的减函数.理由如下：

由题知f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0.又因为f（x）是R上的单调函数，

由f（-3）=2，f（0）

（2）由f+f（m）<0，得f<-f（m）=f（-m），

结合

（1）得>-m，整理得<0.

当m>1时，不等式的解集为；

当m=1时，不等式的解集为{x|x>0}；

当0

【精要点评】利用函数的单调性解函数不等式要特别注意必须考虑函数的定义域，进而结合函数单调性去求不等式的解集.

●总结归纳

奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性，因此，若函数具有奇偶性，在研究单调性、最值或作图象等问题时，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得.

●题组强化

1.若奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f

（2）=0，则不等式≤0的解集为　　　　.

【答案】[-2，0）∪（0，2]

【解析】根据已知条件可画出f（x）的草图如图所示.不等式≤0≥0，

即或由图可知不等式的解集为[-2，0）∪（0，2].

（第1题）

2.（2015·全国卷）若函数f（x）=ln（1+|x|）-，则使得f（x）>f（2x-1）成立的x的取值范围是　　　　　.

【答案】

【解析】由f（x）=ln（1+|x|）-可知f（x）是偶函数，且在[0，+∞）是增函数，

所以f（x）>f（2x-1）f（|x|）>f（|2x-1|）|x|>|2x-1|

3.已知偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x-2）在x∈上恒成立，求实数a的取值范围.

【解答】由于f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，则在（-∞，0]上为减函数.

由f（ax+1）≤f（x-2），知|ax+1|≤|x-2|.

又x∈，故|x-2|=2-x，

即x-2≤ax+1≤2-x.

故x-3≤ax≤1-x，1-≤a≤-1在上恒成立.

由于=0，=-2，故-2≤a≤0，

即实数a的取值范围为[-2，0].

4.已知奇函数f（x）是定义在（-3，3）上的减函数，且满足不等式f（x-3）+f（x2-3）<0，求x的取值范围.

【解答】由题知解得故0

因为f（x）是奇函数，所以f（x-3）<-f（x2-3）=f（3-x2），又f（x）在（-3，3）上是减函数，所以x-3>3-x2，

即x2+x-6>0，解得x>2或x<-3.

综上，2

1.（2015·北京卷改编）已知下列函数：

①y=x2sinx；②y=x2cosx；③y=|lnx|；④y=2-x.其中为偶函数的是　　　　　.（填序号）

【答案】②

【解析】根据奇偶性的定义知①为奇函数，②为偶函数，③的定义域为（0，+∞），故③不具有奇偶性，④既不是奇函数，也不是偶函数.

2.（2015·南通模拟）已知函数f（x）=（x∈R）是奇函数，那么实数a=　　　　.

【答案】1

【解析】因为f（x）=（x∈R）是奇函数，

因此f（0）=0，解得a=1.

3.（2016·苏州期中）已知定义在R上的奇函数f（x），当x>0时，f（x）=2x-x2，则f（-1）+f（0）+f（3）=　　　　.

【答案】-2

【解析】由题意知，f（0）=0，f（-1）=-f

（1），又因为当x>0时，f（x）=2x-x2，所以f（-1）+f（0）+f（3）=-f

（1）+0+f（3）=-21+12+23-32=-2.

4.（2015·天津卷）已知定义在R上的函数f（x）=2|x-m|-1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为　　　　　.

【答案】c

【解析】因为函数f（x）=2|x-m|-1为