勾股定理全章教案.docx

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勾股定理全章教案

课题

勾股定理

（一）

教学目标

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

教学重点

勾股定理的内容及证明。

教学难点

勾股定理的证明。

学习流程

讨论完善

三、例题的意图分析

例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

进一步让学生确信勾股定理的正确性。

四、课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：

“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

五、例习题分析

例1（补充）已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：

4S△+S小正=S大正

4×

ab＋（b－a）2=c2，化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×

ab＋c2

右边S=（a+b）2

左边和右边面积相等，即

4×

ab＋c2=（a+b）2

化简可证。

六、课堂练习

1．勾股定理的具体内容是：

。

2．如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；

⑷三边之间的关系：

。

3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2=a2＋c2，则=90°；若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角。

4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

七、课后练习

1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

⑴c=。

（已知a、b，求c）

⑵a=。

（已知b、c，求a）

⑶b=。

（已知a、c，求b）

2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

3、4、5

32+42=52

5、12、13

52+122=132

7、24、25

72+242=252

9、40、41

92+402=412

……

……

19，b、c

192+b2=c2

3．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=

cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。

4．已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。

求证：

⑴AD2－AB2=BD·CD

⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。

课后反思

课题

勾股定理（四）

教学目标

1．会用勾股定理解决较综合的问题。

2．树立数形结合的思想。

教学重点

勾股定理的综合应用。

教学难点

勾股定理的综合应用。

学习流程

讨论完善

三、例题的意图分析

例1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。

目前“双垂图”需要掌握的知识点有：

3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

例2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。

让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。

使学生清楚作辅助线不能破坏已知角。

例3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

在转化的过程中注意条件的合理运用。

让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。

例4（教材P76页探究3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。

四、课堂引入

复习勾股定理的内容。

本节课探究勾股定理的综合应用。

五、例习题分析

例1（补充）1．已知：

在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=

，

求线段AB的长。

分析：

本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。

目前“双垂图”需要掌握的知识点有：

3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

要求学生能够自己画图，并正确标图。

引导学生分析：

欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。

或欲求AB，可由

，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。

例2（补充）已知：

如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？

分析：

由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°。

在学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC。

让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？

为什么？

小结：

可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。

并指出如何作辅助线？

解略。

例3（补充）已知：

如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：

四边形ABCD的面积。

分析：

如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。

解：

延长AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。

∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=

=

。

∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE=

=

。

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=

AB·BE-

CD·DE=

小结：

不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

例4（教材P76页探究3）

分析：

利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。

变式训练：

在数轴上画出表示

的点。

六、课堂练习

1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC=，S△ABC=。

2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=

cm，则∠A=度，∠B=度,∠C=度，BC=，S△ABC=。

3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=

，CD⊥AB于D，则AC=，CD=，BD=，AD=,S△ABC=。

4．已知：

如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，

求S△ABC。

七、课后练习

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=

，AB=。

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，S△ABC=30，c=13，且a＜b，则a=，b=。

3．已知：

如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=

，

求

（1）AB的长；

（2）S△ABC。

4．在数轴上画出表示－

的点。

课后反思

课题

勾股定理的逆定理

（一）

教学目标

1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

教学重点

1．重点：

掌握勾股定理的逆定理及证明。

教学难点

2．难点：

勾股定理的逆定理的证明。

学习流程

讨论完善

三、例题的意图分析

例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。

例2（P82探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。

例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：

①先判断那条边最大。

②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。

③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

四、课堂引入

创设情境：

⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？

⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？

和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。

五、例习题分析

例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

分析：

⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。

解略。

例2（P82探究）证明：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

分析：

⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。

⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。

⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。

充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。

证明略。

例3（补充）已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋