小学数学空间与图形复习资料Word文档格式.doc
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从一点引出两条射线,所组成的图形叫做角。
这个点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
2、角的特点:
角的大小与角两边的长短无关,与角两边叉开的大小有关。
3、角的分类:
锐角:
小于900的角叫做锐角;
直角:
等于900的角叫做直角;
钝角:
大于900而小于1800的角叫做钝角。
平角:
角的两边成一条直线,这时所组成的角叫做平角,平角1800。
周角:
角的一边旋转一周,与另一边重合,周角是3600。
注意:
平角不能理解为一条直线,周角不能理解为一条射线。
4、角的度量:
量角器中心点与顶点重合,角的一边与量角器的零刻度线重合。
即点与点重合,边与边重合的量角方法。
看量角器的度数,就需要看刻度线在哪边了。
(二)平面图形
一、长方形特征:
对边相等,4个角都是直角的四边形;
有2条对称轴。
二、正方形特征:
4条边都相等,4个角都是直角的四边形;
有4条对称轴。
三、三角形
1、特征:
由三条线段围成的图形;
三角形两边之和大于第三条边;
三角形内角和是180度;
三角形具有稳定性;
三角形有三条高。
2、分类:
(1)按角分锐角三角形:
三个角都是锐角。
直角三角形:
有一个角是直角;
等腰直角三角形的两个锐角都为45度,它有1条对称轴。
钝角三角形:
有一个角是钝角。
(2)按边分任意三角形:
三条边长度不相等。
等腰三角形:
有两条边长度相等;
两个底角相等;
有1条对称轴。
等边三角形:
三条边长度都相等;
三个内角都是60度;
有3条对称轴。
四、平行四边形特征:
两组对边分别平行,相对的边平行且相等;
五、梯形特征:
只有一组对边平行的四边形;
等腰梯形有1条对称轴。
六、圆
1、圆是由曲线围成的封闭图形。
圆上每一点到圆心的距离都相等。
连接圆心和圆上每一点的线段就叫半径。
两点在圆上且通过圆心的线段叫直径。
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。
圆有无数条半径,有无数条直径。
同一个圆里所有的半径都相等,所有的直径都相等。
同一个圆里,半径是直径的,直径是半径的2倍。
圆是一个轴对称图形,它有无数条对称轴,每一条直径都是它的对称轴。
2、圆的画法:
把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离(即半径);
把针尖固定在一点(即圆心)上;
把装有铅笔尖的一只脚旋转一周,就画出一个圆。
(三)立体图形
一、长方体的特征
6个面都是长方形(有可能有两个相对的面是正方形),相对的两个面的面积相等;
12条棱,相对的4条棱长度相等;
有8个顶点。
两个面相交的边叫做棱;
3条棱相交的点叫做顶点;
相交于一个顶点的3条棱的长度分别叫做长、宽、高。
二、正方体的特征
6个面都是正方形,6个面的面积都相等;
12条棱的棱长都相等;
正方体可以看作是特殊的长方体。
三、圆柱的特征
圆柱的上下两个面是大小相同的圆,叫做底面;
圆柱有一个曲面叫做侧面;
两个底面之间的距离叫做高,圆柱的高有无数条。
圆柱的侧面展开图是一个长方形或正方形,长方形的长相当于圆柱的底面周长,宽相当于圆柱的高;
如果圆柱的侧面展开图是一个正方形,那么它的底面周长和高相等。
四、圆锥体的特征
圆锥的底面是个圆,圆锥的侧面是个曲面;
从圆锥的顶点到圆心的距离是圆锥的高。
圆锥只有一条高。
测量圆锥的高:
先把圆锥的底面放平,用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面,竖直地量出平板和底面之间的距离。
把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
B:
图形与测量
一、周长:
围成平面图形的线段或曲线的总长度叫做图形的周长。
长方形周长C=2(a+b)正方形周长C=4a
圆的周长C=πd=2πr半圆的周长=πr+2r=(π+2)r
长方体的棱长和=4(a+b+c)正方体的棱长和=12a
二、面积:
物体表面或围成的平面图形的大小叫做图形的面积。
长方形的面积S=ab正方形的面积S=a2平形四边形的面积S=ah
三角形的面积S=ah梯形的面积S=(a+b)h
长方体的表面积S=2(ab+ah+bh)正方体的表面积S=6a2
圆的面积S=πr2环形的面积S=πR2-πr2
圆柱的侧面积S=ch圆柱的表面积S=侧面积+2底面积=ch+2πr2
三、体积和容积:
物体所占空间的大小叫体积;
容器所能容纳物体的体积叫容积。
相同点:
计算方法相同。
不同点:
求物体的体积是从外面测量长、宽、高,求容积是从容器的里面测量长、宽、高。
一般地容器的体积大于它的容积。
长方体的体积V=abh正方体的体积V=aaa=a3
长方体(正方体)的体积=底面积×
高V=sh
圆柱的体积V=sh圆锥的体积V=sh
四、平面图形的面积公式的推导过程。
长方形:
用数方格的方法。
正方形:
把正方形看作长和宽相等的长方形。
平行四边形:
通过割补、平移转化成长方形。
把平行四边形沿高剪开,拼成一个长方形,长方形的长等于平行四边形的底,长方形的宽等于平行四边形的高,因为长方形的面积=长×
宽,所以平行四边形的面积=底×
高。
等底等高的两个平行四边形面积相等,但面积相等的两个平行四边形不一定是等底等高的。
梯形:
把两个完全相同的梯形,通过旋转、平移转化成平行四边形。
梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。
三角形:
把两个完全相同的三角形,通过旋转、平移转化成与它等底等高的平行四边形。
三角形的面积等于与等底等高的平行四边形面积的一半。
两个完全一样的三角形才能一定拼成一个平行四边形;
两个面积相等的三角形或等底等高的三角形,不一定能拼成一个平行四边形。
等底等高的两个三角形面积相等,但面积相等的两个三角形不一定是等底等高的。
圆:
把一个圆平均分成若干份后,可以拼成一个近似的长方形。
长方形的长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径。
把圆切拼成一个近似长方形,面积不变,但周长增加了两条半径。
五、圆柱和圆锥体积公式的推导。
1、把一个圆柱切割成若干扇形块,再拼成一个近似的长方体,体积不变,它的底面积相当于圆柱的底面积,高就是圆柱的高。
但表面积增加了长方体左右两个面。
2、一个圆锥形容器装满沙或水再倒入与它等底等高的圆柱形容器中,倒3次才能倒满。
圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的。
等底等高的圆锥和圆柱体积之间的关系:
(1)圆柱体积是圆锥体积的3倍,圆锥体积是圆柱体积的;
(2)它们的体积之和是圆柱的(1+),是圆锥的(1+3)倍;
(3)它们的体积之差是圆柱的(1-),是圆锥的(3-1)倍。
六、常见题型
1、运用周长、面积(表面积)、体积的计算公式来解决实际问题。
2、运用周长、面积(表面积)、体积的变形公式(或方程法)来解决实际问题。
3、等面积或等体积问题:
根据面积或体积不变来解决问题。
4、重量问题:
单位面积(或单位体积)的重量×
面积(或体积)=总重量
5、求长方体、正方体、圆柱实际物体表面积问题:
注意考虑实物是由几个面组成的。
6、立体图形的切拼问题:
切时注意增加了几个什么样的面;
拼时注意减少了几个什么样的面。
增高或减高时增加或减少的是高为几的侧面积。
7、变化问题:
长度变化几倍,面积就变化几的平方倍,体积就变化几的立方倍。
已知两个量的变化关系,求第三个量的变化关系。
8、组合图形的面积或体积:
分割、移补、等积转化。
9、最大或最小问题:
圆内最大的正方形(先画两条互相垂直的直径,再按顺序连接两条直径的4个端点)、正方形内最大的圆(以正方形的边长为直径的圆)、长方形内最大的圆(以长方形最短边为直径的圆)、正方体内最大的圆柱或圆锥(最大底面是正方体底面内最大的圆,高与正方体的高相等)、圆柱内最大的圆锥(是与圆柱等底等高的)。
C图形与变换
一、轴对称图形
特征:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
正方形有4条对称轴;
长方形有2条对称轴;
等腰三角形有1条对称轴;
等边三角形有3条对称轴;
等腰梯形有1条对称轴;
圆有无数条对称轴;
半圆有1条对称轴。
二、平移
1、平移的定义:
物体或图形在同一平面内沿着直线(水平或垂直)方向运动,我们把这样的运动方式称为平移。
2、平移的要素:
一是平移的方向;
二是平移的距离。
三、旋转
1、旋转定义:
物体或图形以一个点或一个轴为中心进行圆周运动,我们把这样的运动称为旋转。
2、旋转的要素:
一是围绕的定点或轴;
二是旋转的方向(逆时针或顺时针);
三是旋转角度。
四、图形的放缩
把一个图形的各边按一定的比例进行放大与缩小,从而得到该图形的放大图或缩小图。
(变化比为变化后的:
变化前的)特点:
形状相同,大小不同。
D、图形与位置
一、观察物体
(1)能正确辨认从不同方向(正面、左面、上面)观察到的立体图形的形状;
(2)能确定随着观察点的变化而改变的观察范围。
二、物体位置
(1)用方位词和距离来确定位置:
在地图或平面图中,通常都是上北、下南、左西、右东,还有东北、西北、东南、西南
(2)用方位角和距离来确定位置:
如东偏北600是以东西方向为水平线向北偏600
(3)用数对表示位置:
(列,排)
三、描述简单的路线图
运用方位和位置的知识描述路线图时,一般要求列举出从一个地点到另一个地点的行走路线,要说清楚向哪一个方向走,走多少距离,图中经过哪些地方等。