实变函数与泛函分析要点说明Word格式.docx

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设A⊂B，那么A⊂B，

⊂

，

。

T3：

〔A∪B〕′=A′∪B′.

3、开〔闭〕集性质〔§

3中T1、2、3、4、5〕

T1：

对任何E⊂Rⁿ，Ė是开集，E´

和

都是闭集。

〔Ė称为开核，

称为闭包的理由也在于此〕

〔开集与闭集的对偶性〕设E是开集，那么CE是闭集；

设E是闭集，那么CE是开集。

任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。

T4：

任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。

T5：

〔Heine-Borel有限覆盖定理〕设F是一个有界闭集，ℳ是一开集族{Ui}iєI它覆盖了F〔即Fс

Ui〕，那么ℳ中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F〔即F⊂

Ui〕〔iєI〕

4、开〔闭〕集类、完备集类。

开集类：

Rⁿ，Φ，开区间，邻域、Ė、Pо

闭集类：

Rⁿ，Φ，闭区间，有限集，E΄、E、P

完备集类：

Rⁿ，Φ，闭区间、P

二、根本方法：

1、判断五种点的定义；

2、利用性质定理，判断导集、邻域等；

3、判断开集、闭集；

4、关于开闭集的证明。

第三章测度论根本要求：

1、理解外测度的概念及其有关性质。

2、掌握要测集的概念及其有关性质。

3、掌握零测度集的概念及性质。

4、熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。

5、会利用本章知识计算一些集合的测度。

6、掌握“判断集合可测性〞的方法，会进展有关可测集的证明。

要点归纳：

外测度：

①定义：

E⊂RⁿIi〔开区间〕

IiכEm*〔E〕=inf

│Ii│

②性质：

（1）0≤m*E≤+∞〔非负〕

〔2〕假设AсB那么m*A≤m*B〔单调性〕

〔3〕m*〔

Ai〕≤

m*Ai〔次可列可加性〕

③可测集：

E⊂Rⁿ对任意的TєRⁿ有：

m*〔T〕=m*〔T∩E〕+m*〔T∩CE〕

称E为可测集，记为mE其性质：

1〕T1：

E可测

A⊂EB⊂CE使m*〔A∪B〕=m*A+m*B

2〕T2：

CE可测

④运算性质：

设S1、S2可测⇒S1∪S2可测〔T3〕；

设S1、S2可测⇒S1∩S2可测〔T4〕；

设S1、S2可测⇒S1-S2可测〔T5〕。

⑤S1、S2…Sn可测⇒∪Si可测〔推论3〕∩Si可测〔T7〕

⑥S1、S2…Sn…可测，Si∩Sj=φ⇒∪Si可测m（∪Si）=∑m（Si）（T6）

⑦Si递增,S1⊂S2⊂S3⊂…⇒lim（∪Si）=limmSi=Ms（T8）

⑧Si递降可测,S1כS2כS3כ…当mS1<

+∞⇒

limm（∩Si）=limmSn（T9）

⑨可测集类:

1）零测度集:

可数集、可列点集、Q、[0，1]∩Q、Ф、P

零测度集的子集是~，有限个、可数个零测度集之并是~。

2〕区间是可测集mI=│I│3〕开集、闭集；

4〕Borel集定义，设G可表为一列开集的交集，且称G为Gδ型集

如[-1，1]；

设F可表为一列闭集之并，那么称为Fσ型集，如[0，1]

Borel集定义：

从开集出发，用取余集、取有限个或可列个集合的并集或交集〔不超过可数次〕的集合。

T6：

设E是任一可测集，存在Gδ集，使E⊂G，且m〔G-E〕=0

T7：

设E是任一可测集，存在Gσ集，使F⊂E，且m〔F-E〕=0

可测集是存在的。

第四章可测函数根本要求：

1、掌握可测函数的概念和主要性质。

2、掌握点集上的连续函数、简单函数、几乎处处成立〔几乎处处相等、几乎处处有限、几乎处处收敛…〕的概念。

3、掌握一批可测函数的例子。

4、掌握判断函数可测性的方法，会进展关于可测函数的证明。

5、理解叶果洛夫定理和鲁金定理。

6、了解依测度收敛的概念及其性质。

7、理解三种收敛之间的关系。

（一）根本概念

1可测函数：

ƒ是定义在可测集E

Rⁿ上的实函数，任意的α∈R

E[ƒ>

α]是可测集，称ƒ〔x〕是E上的可测函数

ƒ可测⇔任意的α∈RE[ƒ≧α]是可测集

⇔任意的α∈RE[ƒ<

α]是可测集

⇔任意的α∈RE[ƒ≦α]是可测集

⇔任意的α，β∈RE[α≤ƒ<

β]是可测集〔│ƒ│<

+∞〕

几乎处处成立

2连续函数、简单函数

3依测度收敛、收敛、一致收敛

〔二〕根本结论：

可测函数的性质〔8个定理〕

（1）充要条件〔T1〕4个等价条件

（2）集合分解T3〔2〕，ƒ在Ei之并

Ei上，且在Ei上可测=>

ƒ在

Ei上可测

（3）〔四那么运算〕ƒ，g在E上可测ƒ+g，ƒg，│ƒ│，1/ƒ在E上可测。

（4）极限运算{ƒn}是可测函数列，那么μ=infƒnλ〔x〕=supƒn可测〔T5〕

⇒F=limƒnG=

ƒn可测

（5）与简单函数的关系：

ƒ在E上可测⇒ƒ总可以表成一列简单函数{φn}的极限函数ƒ=

φn，而且可以办到│φ1│≤│φ2│≤│φ3│≤…

2.ЕгopOв定理：

mE<

+∞ƒn是E上a.e于一个a.e有限的函数ƒ的可测函数⇒对任意的

>

0存在子集Eδ⊂E使得ƒn在Eδ上一致收敛

且m〔E-Eδ〕<

3Лузин定理：

ƒ是E上a.e有限可测函数,任意δ>

0

闭子集Eδ

E使得ƒ在Eδ上连续且m〔E-Eδ〕<

δ即在E上a.e有限的可测函数是：

“根本上连续〞的函数。

4可测函数类：

连续函数〔T2〕、简单函数、R上单调函数、零测度集上函数。

5三种收敛之间的关系：

〔E⊂RⁿmE＜+∞〕

一致收敛

Lebesgue

测度收敛

Eropob

几乎处处收敛

〔Riesz：

fn⇒f那么{fni}→fa.e于E〕

Lebesgue：

1〕mE<

+∞；

2〕fnE上a.e有限的可测函数列;

3）fn

⇨fn⇒f（x）在此mE<

+∞条件下,可见测度收敛弱于a.e收敛

补充定理（见复旦§

3.2T5）mE<

+∞,fn是E上可测函数列

fn⇒f⇔{fn}的〔任何子列〕

fni，总可以找到

子子列〔

〕fnij→fa.e于E

三、根本方法：

1判函数可测

（1）集合判别法，任意的a∊RE[f>

a]是可测集

（2）集合分解法，E=∪EiEi∩Ej=Фf在Ei上可测

（3）函数分解法，f可表为假设干函数的运算时

（4）几乎处处相等的函数具有一样的可测性〔§

1，T8〕

（5）可测函数类

2判断三种函数之间的关系

第五章积分论根本要求：

1、了解可测分划、大〔小〕和、上〔下〕积分、有界函数L可积和L积分的概念。

2、掌握有界函数L积分的性质。

3、理解非负函数L积分与L可积的概念。

4、理解一般函数的L积分确定、L积分与L可积的概念。

5、掌握一般函数的L积分的性质。

6、掌握L积分极限定理。

7、弄清L积分与R积分之间的关系。

8、熟练掌握计算L积分的方法。

9、会利用L积分极限定理进展有关问题的证明。

10、了解有界变差函数的概念及其主要性质。

11、了解不定积分、绝对连续函数的概念及它们的主要性质。

Lebesgue积分

1、Riemann积分分割、作和、取确界、求极限。

2、Lebesgue积分

定义1：

E=

Ei,各Ei互不相交，可测，那么称{Ei}为E的一个分划，记作D={Ei}

定义2：

设f是定义在E⊂Rⁿ〔mE<

∞〕上的有界函数，D={Ei}

令Bі=

f〔x〕bi=

f〔x〕

大和S〔D，f〕=

BimEi=S〔D，f〕　

小和ş〔D，f〕=

bimEi=ş〔D，f〕

ş〔D，f〕≤S〔D，f〕

定义3：

∞〕上的有界函数

上积分：

f〔x〕dx=inf{S〔D，f〕}

下积分：

f〔x〕dx=supş〔D，f〕假设上下积分相等，那么称f在E上可积，其积分值叫做L积分值，记〔L〕∫Ef〔x〕dx

设f是定义在E⊂Rq〔mE<

∞〕上的有界函数，那么f在E上L可积‹═›任意的ε＞0S〔D，f〕-ş〔D，f〕＜ε

f在E上L可积⇔f在E上可测〔*〕

对有界函数而言，L可积⇔可测

f，g有界，在E上可测，f±

g，fg，f/g，‌‌‌‌‌│f│可积

f在[a，b]上R可积═›L可积，且值相等*

L积分的性质：

T-1〔1〕：

f在E上L可积，那么在E的可测子集上也L可积；

反之，

E=E1∪E2E1∩E2=φE1、E2可测，假设f在Ei上L可积，那么f在E上可积

∫Efdx=∫E1fdx+∫E2fdx〔积分的可加性〕

〔2〕f，g在E上有界可测∫E〔f+g〕dx=∫Efdx+∫Egdx

〔3〕任意cєR∫Ecfdx=c∫Efdx

〔4〕f，g在E上L可积，且f≤g那么∫Efdx≤∫Egdx

特别地，b≤f≤B∫Efdxє[bmE，BmE]

推论1：

〔1〕当mE=0∫Efdx=0

〔2〕f=c∫Efdx=cmE

〔5〕f在E上可积，那么‌│f‌‌‌│可积，且│∫Efdx│≤∫E│f│dx

T-2〔1〕设f在E上L可积f≥0∫Efdx=0那么f=0a.e于E

〔2〕f在E上L可积，那么对任意的可测集A属于E

使

∫Afdx=0〔绝对连续性〕

推2：

设f，g在E上有界可积，且f=ga.e于E

那么∫Efdx=∫Egdx

证明思路:

E=E1∪E2E1∩E2=φE1=E[f≠g]

∫E（f-g）dx=∫E1+∫E2（f-g）dx=0

注:

1）在零测度集上随意改变函数值,不影响积分值,甚至在E的一个零测度子集

上无定义亦可.

2）从E中除去或添加有限个或可数个点L积分值不变

一般函数的积分

一、非负函数：

f,E⊂E

二、定义:

f≥0E⊂E

mE<

∞

[f（x）]n={

称[f]n为〔E上〕截断函数

性质：

〔1〕

[f（x）]n有界非负，f≤n

〔2〕单调[f]1≤[f]2≤[f]3≤…

〔3〕

[f]n=f〔x〕

设f为非负〔于E〕可测〔mE<

∞〕

称∫Efdx=∫E

[f]ndx〔假设存在含无穷大〕为f在E上的L积分

当∫E

[f]ndx为有限时，称f为在E上的非负可积函数

注：

①非负可积一定存在分

②L积分非负可积

三、一般函数的积分

设f