立体几何知识点与例题讲解题型方法技巧理科Word文件下载.docx
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(2)转化为线面垂直.
7.夹角公式:
设a=
,b=
,则cos〈a,b〉=
.
8.异面直线所成角:
=
(其中
(
)为异面直线
所成角,
分别表达异面直线
方向向量)
9.直线
与平面所成角:
为平面
法向量).
10、空间四点A、B、C、P共面
,且x+y+z=1
11.二面角
平面角
或
,
12.三余弦定理:
设AC是α内任一条直线,且BC⊥AC,垂足为C,又设AO与AB所成角为
,AB与AC所成角为
,AO与AC所成角为
.则
13.空间两点间距离公式若A
,B
,则
14.异面直线间距离:
(
是两异面直线,其公垂向量为
分别是
上任一点,
为
间距离).
15.点
到平面
距离:
法向量,
是通过面
一条斜线,
).
16.三个向量和平方公式:
17.长度为
线段在三条两两互相垂直直线上射影长分别为
,夹角分别为
则有
(立体几何中长方体对角线长公式是其特例).
18.面积射影定理
.(平面多边形及其射影面积分别是
、
,它们所在平面所成锐二面角
19.球组合体
(1)球与长方体组合体:
长方体外接球直径是长方体体对角线长.
(2)球与正方体组合体:
正方体内切球直径是正方体棱长,正方体棱切球直径是正方体面对角线长,正方体外接球直径是正方体体对角线长.(3)球与正四周体组合体:
棱长为
正四周体内切球半径为
外接球半径为
20.
求点到面距离常规办法是什么?
(直接法、体积法)
21.
求多面体体积常规办法是什么?
(割补法、等积变换法)
〈二〉温馨提示:
1.直线倾斜角、两条异面直线所成角等时它们各自取值范畴?
①异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角取值范畴依次
②直线倾斜角、
到
角、
与
夹角取值范畴依次是
.
〈三〉解题思路:
1、平行垂直证明重要运用线面关系转化:
线面平行鉴定:
线面平行性质:
三垂线定理(及逆定理):
线面垂直:
面面垂直:
2、三类角定义及求法
(1)异面直线所成角θ,0°
<θ≤90°
(2)直线与平面所成角θ,0°
≤θ≤90°
(三垂线定理法:
A∈α作或证AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,连AO,则AO⊥棱l,∴∠AOB为所求。
)
三类角求法:
①找出或作出关于角。
②证明其符合定义,并指出所求作角。
③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。
二、题型与办法
【考点透视】
无论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”环节来完毕。
求解空间距离和角办法有两种:
一是运用老式几何办法,二是运用空间向量。
【例题解析】
考点1点到平面距离
求点到平面距离就是求点到平面垂线段长度,其核心在于拟定点在平面内垂足,固然别忘了转化法与等体积法应用.
例1如图,正三棱柱
所有棱长都为
中点.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求二面角
大小;
(Ⅲ)求点
距离.
考查目:
本小题重要考查直线与平面位置关系,二面角
大小,点到平面距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维
能力和运算能力.
解答过程:
解法一:
(Ⅰ)取
中点
,连结
为正三角形,
正三棱柱
中,平面
连结
,在正方形
中,
分别为
中点,
,
在正方形
(Ⅱ)设
交于点
,在平面
中,作
于
,由(Ⅰ)得
为二面角
平面角.
在
中,由等面积法可求得
又
因此二面角
大小为
(Ⅲ)
在正三棱柱中,
距离为
设点
由
,得
点
解法二:
在正三棱柱
取
,觉得
原点,
方向为
轴正方向建立空间直角坐标系,则
(Ⅱ)设平面
法向量为
.
令
得
一种法向量.
由(Ⅰ)知
法向量.
二面角
(Ⅲ)由(Ⅱ),
距离
小结:
本例中(Ⅲ)采用了两种办法求点到平面距离.解法二采用了平面向量计算办法,把不易直接求B点到平面
距离转化为容易求点K到平面
距离计算办法,这是数学解题中惯用办法;
解法一采用了等体积法,这种办法可以避免复杂几何作图,显得更简朴些,因而可优先考虑使用这一种办法.
考点2异面直线距离
此类题目重要考查异面直线距离概念及其求法,考纲只规定掌握已给出公垂线段异面直线距离.
例2已知三棱锥
,底面是边长为
正三角形,棱
长为2,且垂直于底面.
中点,求CD与SE间距离.
思路启迪:
由于异面直线CD与SE公垂线不易寻找,因此设法将所求异面直线距离,转化成求直线与平面距离,再进一步转化成求点到平面距离.
如图所示,取BD中点F,连结EF,SF,CF,
中位线,
∥
∥面
距离即为两异面直线间距离.
线面之间距离可转化为线
上一点C到平面
距离,设其为h,由题意知,
D、E、F分别是
AB、BC、BD中点,
在Rt
由于
,即
,解得
故CD与SE间距离为
通过本例咱们可以看到求空间距离过程,就是一种不断转化过程.
考点3直线到平面距离
此类题目再加上平行平面间距离,重要考查点面、线面、面面距离间转化.
例3.如图,在棱长为2正方体
中,G是
中点,求BD到平面
距离.
把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离办法求解.
解析一
∥平面
上任意一点到平面
距离皆为所求,如下求
点O平面
距离,
,两个平面交线是
作
于H,则有
,即OH是O点到平面
即BD到平面
距离等于
解析二
距离皆为所求,如下求点B平面
设点B到平面
距离为h,将它视为三棱锥
高,则
当直线与平面平行时,直线上每一点到平面距离都相等,都是线面距离.因此求线面距离核心是选准恰当点,转化为点面距离.本例解析一是依照选出点直接作出距离;
解析二是等体积法求出点面距离.
考点4异面直线所成角
此类题目普通是按定义作出异面直线所成角,然后通过解三角形来求角.异面直线所成角是高考考查重点.
例4、如图,在
,斜边
可以通过
以直线
为轴旋转得到,且二面角
直二面角.
是
(1)求证:
(2)求异面直线
所成角大小.
1)核心是通过平移把异面直线转化到一种三角形内.
解法1:
)由题意,
是二面角
是直二面角,
,又
(2)作
,垂足为
(如图),则,
是异面直线
所成角.
异面直线
所成角大小为
解法2:
(1)同解法1.
(2)建立空间直角坐标系
,如图,则
求异面直线所成角经常先作出所成角平面图形,作法有:
①平移法:
在异面直线中一条直线上选取“特殊点”,作另一条直线平行线,如解析一,或运用中位线,如解析二;
②补形法:
把空间图形补成熟悉几何体,其目在于容易发现两条异面直线间关系,如解析三.普通来说,平移法是最惯用,应作为求异面直线所成角首选办法.同步要特别注意异面直线所成角范畴:
考点5直线和平面所成角
此类题重要考查直线与平面所成角作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位,是高考常考内容.
例5.
四棱锥
中,底面
为平行四边形,侧面
底面
.已知
(Ⅰ)证明
(Ⅱ)求直线
与平面
本小题重要考查直线与直线,直线与平面位置关系,
二面角大小,点到平面距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
(Ⅰ)作
,由侧面
,因此
,故
为等腰直角三角形,
由三垂线定理,得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,依题设
故
,由
面积
设
,由于
所成角为
因此,直线
所成我为
如图,觉得
坐标原点,
轴正向,建立直角坐标系
(Ⅱ)取
,取
内两条相交直线
垂直.
因此
夹角记为
所成角记为
互余.