最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案92文档格式.docx
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解
(4),其中D是顶点分别为(0,0),(π,0),和(π,π)的三角形闭区域.
0≤x≤π,0≤y≤x.于是,
2.画出积分区域,并计算下列二重积分:
(1),其中D是由两条抛物线,所围成的闭区域;
解积分区域图如,并且D={(x,y)|0≤x≤1,}.于是
(2),其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域;
解积分区域图如,并且D={(x,y)|-2≤y≤2,}.于是
(3),其中D={(x,y)||x|+|y|≤1};
解积分区域图如,并且
D={(x,y)|-1≤x≤0,-x-1≤y≤x+1}⋃{(x,y)|0≤x≤1,x-1≤y≤-x+1}.
于是
=e-e-1.
(4),其中D是由直线y=2,y=x及y=2x轴所围成的闭区域.
解积分区域图如,并且D={(x,y)|0≤y≤2,}.于是
3.如果二重积分的被积函数f(x,y)是两个函数f1(x)及f2(y)的乘积,即f(x,y)=f1(x)⋅f2(y),积分区域D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d},证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即
证明,
而,
故.
由于的值是一常数,因而可提到积分号的外面,于是得
4.化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域D是:
(1)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域;
解积分区域如图所示,并且
D={(x,y)|},或D={(x,y)|},
所以或.
(2)由x轴及半圆周x2+y2=r2(y≥0)所围成的闭区域;
D={(x,y)|},
或D={(x,y)|},
所以,或.
(3)由直线y=x,x=2及双曲线(x>
0)所围成的闭区域;
或D={(x,y)|}⋃{(x,y)|},
所以,或.
(4)环形闭区域{(x,y)|1≤x2+y2≤4}.
解如图所示,用直线x=-1和x=1可将积分区域D分成四部分,分别记做D1,D2,D3,D4.于是
用直线y=1,和y=-1可将积分区域D分成四部分,分别记做D1,D2,D3,D4,
如图所示.于是
5.设f(x,y)在D上连续,其中D是由直线y=x、y=a及x=b(b>
a)围成的闭区域,
证明:
.
证明积分区域如图所示,并且积分区域可表示为
D={(x,y)|a≤x≤b,a≤y≤x},或D={(x,y)|a≤y≤b,y≤x≤b}.
于是,或.
因此.
6.改换下列二次积分的积分次序:
(1);
解由根据积分限可得积分区域D={(x,y)|0≤y≤1,0≤x≤y},如图.
因为积分区域还可以表示为D={(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤1},所以
(2);
解由根据积分限可得积分区域D={(x,y)|0≤y≤2,y2≤x≤2y},如图.
因为积分区域还可以表示为D={(x,y)|0≤x≤4,},所以
(3);
解由根据积分限可得积分区域,如图.
因为积分区域还可以表示为,所以
(4);
(5);
解由根据积分限可得积分区域D={(x,y)|1≤x≤e,0≤y≤lnx},如图.
因为积分区域还可以表示为D={(x,y)|0≤y≤1,ey≤x≤e},所以
(6)(其中a≥0).
因为积分区域还可以表示为
所以.
7.设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2,y=x和x轴所围成,它的面密度为μ(x,y)=x2+y2,求该薄片的质量.
解如图,该薄片的质量为
8.计算由四个平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积.
解四个平面所围成的立体如图,所求体积为
9.求由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x2+y2=6-z截得的立体的体积.
解立体在xOy面上的投影区域为D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1-x},所求立体的体积为以曲面z=6-x2-y2为顶,以区域D为底的曲顶柱体的体积,即
.
10.求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积.
解由消去z,得x2+2y2=6-2x2-y2,即x2+y2=2,故立体在xOy面上的投影区域为x2+y2≤2,因为积分区域关于x及y轴均对称,并且被积函数关于x,y都是偶函数,所以
11.画出积分区域,把积分表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D是:
(1){(x,y)|x2+y2≤a2}(a>
0);
解积分区域D如图.因为D={(ρ,θ)|0≤θ≤2π,0≤ρ≤a},所以
(2){(x,y)|x2+y2≤2x};
解积分区域D如图.因为,所以
.
(3){(x,y)|a2≤x2+y2≤b2},其中0<
a<
b;
解积分区域D如图.因为D={(ρ,θ)|0≤θ≤2π,a≤ρ≤b},所以
.
(4){(x,y)|0≤y≤1-x,0≤x≤1}.
解积分区域D如图.因为,所以
12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:
解积分区域D如图所示.因为
所以
解积分区域D如图所示,并且
所示
(4).
13.把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:
解积分区域D如图所示.因为,所以
14.利用极坐标计算下列各题:
(1),其中D是由圆周x2+y2=4所围成的闭区域;
解在极坐标下D={(ρ,θ)|0≤θ≤2π,0≤ρ≤2},所以
(2),其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;
解在极坐标下,所以
(3),其中D是由圆周x2+y2=4,x2+y2=1及直线y=0,y=x所围成的第一象限内的闭区域.
15.选用适当的坐标计算下列各题:
(1),其中D是由直线x=2,y=x及曲线xy=1所围成的闭区域.
解因为积分区域可表示为,所以
(2),其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;
(3),其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a>
解因为积分区域可表示为D={(x,y)|a≤y≤3a,y-a≤x≤y},所以
(4),其中D是圆环形闭区域{(x,y)|a2≤x2+y2≤b2}.
解在极坐标下D={(ρ,θ)|0≤θ≤2π,a≤ρ≤b},所以
16.设平面薄片所占的闭区域D由螺线ρ=2θ上一段弧()与直线所围成,它的面密度为μ(x,y)=x2+y2.求这薄片的质量.
解区域如图所示.在极坐标下,所以所求质量
.
17.求由平面y=0,y=kx(k>
0),z=0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.
解此立体在xOy面上的投影区域D={(x,y)|0≤θ≤arctank,0≤ρ≤R}.
18.计算以xOy平面上圆域x2+y2=ax围成的闭区域为底,而以曲面z=x2+y2为顶的曲顶柱体的体积.
解曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D={(x,y)|x2+y2≤ax}.
在极坐标下,所以