最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案92文档格式.docx

1、 解 （4）, 其中D是顶点分别为（0, 0）, （, 0）, 和（, ）的三角形闭区域. 0x, 0yx. 于是, 2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: （1）, 其中D是由两条抛物线, 所围成的闭区域; 解 积分区域图如, 并且D=（x, y）| 0x1, . 于是 （2）, 其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域; 解 积分区域图如, 并且D=（x, y）| -2y2, . 于是 （3）, 其中D=（x, y）| |x|+|y|1; 解 积分区域图如, 并且 D=（x, y）| -1x0, -x-1yx+1（x, y）| 0x1, x-1y-x+1. 于是 =e-e-

2、1. （4）, 其中D是由直线y=2, y=x及y=2x轴所围成的闭区域. 解 积分区域图如, 并且D=（x, y）| 0y2, . 于是 3. 如果二重积分的被积函数f（x, y）是两个函数f1（x）及f2（y）的乘积, 即f（x, y）= f1（x）f2（y）, 积分区域D=（x, y）| axb, c yd, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即 证明 , 而 , 故 . 由于的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得 4. 化二重积分为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分）, 其中积分区域D是: （1）由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域; 解 积

3、分区域如图所示, 并且D=（x, y）|, 或D=（x, y）| ,所以 或. （2）由x轴及半圆周x2+y2=r2（y0）所围成的闭区域; D=（x, y）|, 或D=（x, y）| ,所以 , 或. （3）由直线y=x, x=2及双曲线（x0）所围成的闭区域; 或D=（x, y）| （x, y）|,所以 , 或. （4）环形闭区域（x, y）| 1x2+y24. 解 如图所示, 用直线x=-1和x=1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2, D3, D4. 于是 用直线y=1, 和y=-1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2, D3, D 4, 如图所示. 于是 5.

4、 设f（x, y）在D上连续, 其中D是由直线y=x、y=a及x=b（ba）围成的闭区域, 证明:. 证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为 D=（x, y）|axb, ayx, 或D=（x, y）|ayb, yxb. 于是 , 或. 因此 . 6. 改换下列二次积分的积分次序: （1）; 解 由根据积分限可得积分区域D=（x, y）|0y1, 0xy, 如图. 因为积分区域还可以表示为D=（x, y）|0x1, xy1, 所以 （2）; 解 由根据积分限可得积分区域D=（x, y）|0y2, y2x2y, 如图. 因为积分区域还可以表示为D=（x, y）|0x4, , 所以 （3）;

5、 解 由根据积分限可得积分区域, 如图. 因为积分区域还可以表示为, 所以 （4）; （5）; 解 由根据积分限可得积分区域D=（x, y）|1xe, 0yln x, 如图. 因为积分区域还可以表示为D=（x, y）|0y1, eyx e, 所以 （6）（其中a0） 因为积分区域还可以表示为 , 所以 . 7. 设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2, y=x和x轴所围成, 它的面密度为（x, y）=x2+y2, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为 8. 计算由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积. 解 四个平面所

6、围成的立体如图, 所求体积为 9. 求由平面x=0, y=0, x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x2+y2=6-z截得的立体的体积. 解 立体在xOy面上的投影区域为D=（x, y）|0x1, 0y1-x, 所求立体的体积为以曲面z=6-x2-y2为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积, 即 . 10. 求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积. 解 由消去z, 得x2+2y2=6-2x2-y2, 即x2+y2=2, 故立体在xOy面上的投影区域为x2+y22, 因为积分区域关于x及y轴均对称, 并且被积函数关于x, y都是偶函数, 所以 11. 画出积分区域,

7、 把积分表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D是: （1）（x, y）| x2+y2a2（a0）; 解 积分区域D如图. 因为D=（, ）|02, 0a, 所以 （2）（x, y）|x2+y22x; 解 积分区域D如图. 因为, 所以 . （3）（x, y）| a2x2+y2b2, 其中0a 解 因为积分区域可表示为D=（x, y）|ay3a, y-axy, 所以 （4）, 其中D是圆环形闭区域（x, y）| a2x2+y2b2. 解 在极坐标下D=（, ）|02, ab, 所以 16. 设平面薄片所占的闭区域D由螺线=2上一段弧（）与直线所围成, 它的面密度为（x, y）=x2+y2. 求这薄片的质量. 解 区域如图所示. 在极坐标下, 所以所求质量 . 17. 求由平面y=0, y=kx（k0）, z=0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积. 解 此立体在xOy面上的投影区域D=（x, y）|0arctank, 0R. 18. 计算以xOy平面上圆域x2+y2=ax围成的闭区域为底, 而以曲面z=x2+y2为顶的曲顶柱体的体积. 解 曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D=（x, y）|x2+y2ax. 在极坐标下, 所以