数学河北省张家口市学年高二下学期期末考试理Word下载.docx
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C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
7．给出下列两种说法：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）
A．①和②的假设都错误B．①和②的假设都正确
C．①的假设正确，②的假设错误D．①的假设错误，②的假设正确
8．在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则此展开式中各项系数绝对值之和为（）
9．已知点P是曲线上一动点，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的最小值是（）
A．0
10．（）
11．36的所有正约数之和可按如下方法得到：
因为36＝22×
32，所以36的所有正约数之和为（1＋3＋32）＋（2＋2×
3＋2×
32）＋（22＋22×
3＋22×
32）＝（1＋2＋22）（1＋3＋32）＝91，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为（）
A．217B．273C．455D．651
12．已知若存在互不相同的四个实数0＜a＜b＜c＜d满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则ab＋c＋2d的取值范围是（）
A．（，）B．（，15）
C．[，15]D．（，15）
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
13．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.84，则P（ξ≤－2）＝________．
14．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产耗能y（吨）的几组相对应数据．
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4.5
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归直线方程为，那么表中t＝________．
15．按照上级要求，市人民医院决定组建一个医疗小队前往灾区服务．考虑到本院人员具体情况，经院领导研究决定：
从4名内科、5名外科、3名儿科医生中，选出4人组建医疗小队，并且要求这三类专业技术人员都至少有一人，则医疗小队组建方式共有________种．
16．函数，，（a＞0）．若对任意实数x1，都存在正数x2，使得g（x2）＝f（x1）成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
17．已知复数z＝1＋mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．
（Ⅰ）设复数，求|z1|；
（Ⅱ）设复数，且复数z2所对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
18．某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准如下：
85分及以上，记为A等；
分数在[70，85）内，记为B等；
分数在[60，70）内，记为C等；
60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知某学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了了解该校学生的成绩，抽取了50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出样本频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求图中x的值，并根据样本数据估计该校学生学业水平测试的合格率；
（Ⅱ）在选取的样本中，从70分以下的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中成绩为D等级的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
19．为了调查“五一”小长假出游选择“有水的地方”是否与性别有关，现从该市“五一”出游旅客中随机抽取500人进行调查，得到如下2×
2列联表：
（单位：
人）
选择“有水的地方”
不选择“有水的地方”
合计
男
90
110
200
女
210
300
500
（Ⅰ）据此样本，有多大的把握认为选择“有水的地方”与性别有关；
（Ⅱ）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市“五一”所有出游旅客情况，现从该市的全体出游旅客（人数众多）中随机抽取3人，设3人中选择“有水的地方”的人数为随机变量X，求随机变量X的数学期望和方差．
附临界值表及参考公式：
P（K2≥k0）
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，n＝a＋b＋c＋d．
20．函数f（x）＝xlnx－a（x－1）2－x，g（x）＝lnx－2a（x－1），其中常数a∈R．
（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：
在区间（1，＋∞）上存在
f（x）的极值点x0，使得x0lnx0＋lnx0－2x0＞0．
21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．
（Ⅰ）写出椭圆C的普通方程和直线l的倾斜角；
（Ⅱ）若点P（1，2），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|PA|·
|PB|的值．
22．已知函数f（x）＝|x＋a|－|x－1|．
（Ⅰ）当a＝－2时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥2有解，求实数a的取值范围．
23．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，，射线θ＝φ，，与曲线C1交于（不包括极点O）三点A，B，C．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）当时，求点B到曲线C2上的点的距离的最小值．
24．设函数f（x）＝|x－1|＋|2x－1|．
（Ⅰ）若对x＞0，不等式f（x）≥tx恒成立，求实数t的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝2M．证明：
a＋b≥2ab．
参考答案
1．B2．B3．C4．C5．A6．A7．D8．D9．D10．A11．A12．D
13．0．1614．315．27016．[e，＋∞）
17．解：
∵z＝1＋mi，∴．
∴．
又∵为纯虚数，
∴
∴m＝－3．
∴z＝1－3i．
（Ⅰ），
（Ⅱ）∵z＝1－3i，
又∵复数z2所对应的点在第四象限，
∴∴
18．解：
（Ⅰ）由题意可知，10x＋0.012×
10＋0.056×
10＋0.018×
10＋0.010×
10＝1，
∴x＝0.004．
∴合格率为1－10×
0.004＝0.96．
（Ⅱ）样本中C等级的学生人数为0.012×
10×
50＝6，
而D等级的学生人数为0.004×
50＝2．
∴随机抽取3人中，成绩为D等级的人数X的可能取值为0，1，2，
∴，
，
∴X的分布列为
1
2
P
数学期望．
19．解：
∴有99.9％的把握认为选择“有水的地方”与性别有关；
（Ⅱ）估计该市的所有出游旅客中任一人选择“有水的地方”出游的概率为，
X的可能取值为0，1，2，3，由题意，得X～B（3，），
∴随机变量X的数学期望，
方差．
20．（Ⅰ）解：
函数g（x）的定义域为（0，＋∞），导函数为．
①当a≤0时，g′（x）＞0恒成立，g（x）在定义域（0，＋∞）上是增函数；
②当a＞0时，，并且，
在区间（0，）上，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，）是增函数；
在区间（，＋∞）上，g′（x）＜0，∴g（x）在区间（，＋∞）上是减函数．
（Ⅱ）证明：
当a＞0时，在区间（0，1]上，f（x）＜0是显然的，即在此区间上f（x）没有零点；
又由于f（x）有两个零点，则必然f（x）在区间（1，＋∞）上有两个零点x1，x2（x1＜x2），
f′（x）＝lnx－2a（x－1），由（Ⅰ）知，f′（x）在区间（0，）上是增函数，在区间（，＋∞）上是减函数．
①若，则，在区间（1，＋∞）上，f′（x）是减函数，f′（x）≤f′
（1）＝0，
f（x）在（1，＋∞）上单调递减，不可能有两个零点，所以必然有．
②当时，在区间（1，）上，f′（x）是增函数，f′（x）＞f′
（1）＝0；
在区间（，＋∞）上，f′（x）是减函数．依题意，必存在实数x0，使得在区间（，x0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
在区间（x0，＋∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数．此时x0＞1，且x0是f（x）的极大值点．
所以f（x0）＞0，且f′（x0）＝0，即消去a得到x0lnx0＋lnx0－2x0＞0（x0＞1）．
设F（x）＝xlnx＋lnx－2x（x＞1），．
∵，∴x＞1时，F′（x）单调递增．又F′
（1）＝0，
∴x＞1时，F′（x）＞0．∴x＞1时，F（x）单调递增．
又F
（1）＝－2＜0，F（e2）＝2＞0．∴存在x0＝e2＞1满足题意．
亦可直接观察得到，x0＝e2时，e2lne2＋lne2－2e2＝2＞0，满足题意．
21．解：
（Ⅰ）消去θ得到椭圆C的普通方程为．
直线l的斜率为，∴直线l的倾斜角为．
（Ⅱ）把直线l的方程代入中，
得，
即．
∴t1·
t2＝4，即|PA|·
|PB|＝4．
22．解：
（Ⅰ）当a＝－2时，
当x≤1时，由得，成立，∴x≤1；
当1＜x≤2时，由得解得，∴；
当x＞2时，由得，不成立，∴无解．
综上，的解集为．
（Ⅱ）∵f（x）＝|x＋a|－|x－1|≥2有解，
∴f（x）max≥2．
∵|x＋a|－|x－1|≤（x＋a）－（x－1）＝|a＋1|，
∴|a＋1|≥2，∴a≥1或a≤－3．
23．（Ⅰ）证明：
依题意|OA|＝2cosφ，，，
则
．
（Ⅱ）解：
∵，
曲线C2的直角坐标方程为．
又∵B极坐标为（1，），化为直角坐标为，
∴B到曲线C2的距离为．
∴所求距离的最小值为．
24．（Ⅰ）解：
恒成立
当且仅当，即时取等号，
∴t≤1，∴M＝1．
∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤1．
∴．（当且仅当“a＝b”时取等号）①
又∵，∴．
∴，（当且仅当“a＝b”时取等号）②
由①、②得．（当且仅当“a＝b”时取等号）
∴a＋b≥2ab．
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