勾股定理的逆定理Word格式.docx

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8．在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则（　　）

A．∠A＝90°

B．∠B＝90°

C．∠C＝90°

D．∠A＝∠B

9．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，则CD的值是（　　）

A．0.72B．2.0C．1.125D．不能确定

10．一个三角形的三边的长分别是15cm，20cm，25cm，则这个三角形的面积为（）

A．B．C．D．

11．下列结沦中，错误的有（　　）

①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；

②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°

；

③若△ABC中，∠A：

∠B：

∠C=1：

5：

6，则这个三角形是一个直角三角形；

④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=4xy．

A．0个B．1个C．2个D．3个

12．已知，，是三角形的三边长，且，那么此三角形是（）

A．以为斜边的直角三角形B．以为斜边的直角三角形

C．等腰直角三角形D．锐角三角形

13．若三角形的三边长分别为，，，且满足，则此三角形中最大的角是（）

A．锐角B．直角C．钝角D．无法确定

二、填空题

14．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______．

15．已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为_____.

16．如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为______．

17．若三角形的三边长是6，8，，当的值为________时，该三角形是直角三角形.

18．如图所示，点为的边上一点，，，，，则________.

三、解答题

19．如图，在中，，，，.

求的周长；

判断是否是直角三角形，并说明理由.

20．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20.

（1）求CD的长；

（2）求AB的长；

（3）判断△ABC的形状．

21．如图所示，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°

，求四边形ABCD的面积.

22．求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°

，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？

23．为了庆祝红宝石婚纪念日，詹克和凯丽全家举行聚会．詹克忽然发现他的年龄的平方与凯丽年龄的平方的差，正好等于他的子女数目的平方，已知詹克比凯丽大一岁，现在他们都不到70岁．请问，当年结婚时，两个人各是多少岁?

现在共有子女几人?

（在西方，结婚40周年被称为红宝石婚，且该国的合法结婚年龄为16岁）

参考答案

1．C

【分析】

根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．

【详解】

A.,则a2+c2=b2,△ABC是直角三角形,故A正确，不符合题意；

B.52+122=132，△ABC是直角三角形，故B正确，不符合题意；

C.∠A：

∠C=3：

4：

5，

设∠A、∠B、∠C分别为3x、4x、5x，

则3x+4x+5x=180°

，

解得，x=15°

则∠A、∠B、∠C分别为45°

，60°

，75°

△ABC不是直角三角形；

故C选项错误，符合题意；

D.∠A-∠B=∠C，则∠A=∠B+∠C，

∠A=90°

△ABC是直角三角形，故D正确，不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理、勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

2．D

由题干条件知：

AC2+BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，根据三角形的面积相等即可求出CD的长．

在△ABC中，∵AB=25，AC=24，BC=7，

∴242+72=252，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°

．

根据三角形面积相等可知，

BC•AC=AB•CD，

∴CD=．

故选：

D．

本题主要考查了勾股定理的逆定理，利用好勾股定理的逆定理以及面积法求高是解答本题的关键．

3．C

根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．

解：

①∠A=∠B-∠C，可得：

∠B=90°

，是直角三角形；

②∠A：

5，可得：

∠C=75°

，不是直角三角形；

③a2=（b+c）（b-c），可得：

a2+c2=b2，是直角三角形；

④a：

b：

c=5：

12：

13，可得：

a2+b2=c2，是直角三角形；

∴是直角三角形的有3个；

C.

此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．

4．C

【解析】

当∠A=90°

时，满足条件的C点2个；

当∠B=90°

当∠C=90°

时，满足条件的C点2个．所以共有6个．

∵点A，B的纵坐标相等，

∴AB∥x轴，

∵点C到AB距离为5，AB=10，

∴点C在平行于AB的两条直线上，

∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上），

∴满足条件的C点共，6个．

用到的知识点为：

到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．

5．D

当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有:

C、D,E,H四个;

当AB是直角边,A是直角顶点时,第三个顶点是F点;

当AB是直角边,B是直角顶点时,第三个顶点是G.

因而共有6个满足条件的顶点.

故选D.

6．B

首先依据勾股定理，结合图中每个小方格的边长，求得AC2，AB2，BC2的值；

接下来，依据勾股定理的逆定理可判断出△ABC的形状.

∵BC2=42+22=20，AB2=22+12=5，AC2=32+42=25，

∴BC2+AB2=AC2，

∴△ABC是直角三角形.故选B.

本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理.

7．B

试题分析：

根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．

根据勾股定理，得

AB2=4+16=20，AC2=1+4=5，AD2=1+9=10，BC2=25，BD2=1+9=10，CD2=9+16=25，

根据勾股定理的逆定理，则可以构成直角三角形的有△ABC和△ABD．

故选B．

点评：

此题综合考查了勾股定理及其逆定理．

8．A

试题解析：

∵在△ABC中，AB=，BC=，AC=，

∴

∴∠A=90°

故选A.

9．A

先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据计算直角三角形的面积的两种计算方法求出斜边上的高CD．

∵AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，

∴AB2＝1.52＝2.25，BC2+AC2＝0.92+1.22＝2.25，

∴AB2＝BC2+AC2，

∴∠ACB＝90°

∵CD是AB边上的高，

∴S△ABC＝AB·

CD=AC·

BC，

1.5CD＝1.2×

0.9，

CD＝0.72，

故选A．

该题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形的面积公式及其应用问题；

解题的方法是运用勾股定理首先证明△ABC为直角三角形；

解题的关键是灵活运用三角形的面积公式来解答．

10．A

根据勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形，然后再利用三角形的面积公式即可求解．

∵15²

+20²

=25²

∴此三角形是直角三角形，

∴三角形的面积为=.

故答案为A.

本题考查三角形面积公式和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握三角形面积公式和勾股定理的逆定理.

11．C

根据勾股定理以及逆定理即可解答．

①分两种情况讨论：

当3和4为直角边时，斜边为5；

当4为斜边时，另一直角边是，所以错误；

②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，应∠C=90°

，所以错误；

③最大角∠C=×

6=90°

，这个三角形是一个直角三角形，正确；

④若（x-y）2+M=（x+y）2成立，则M=（x+y）2-（x-y）2=4xy，正确．

本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：

若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

12．B

根据绝对值、偶次方的非负性质，分别求出a，b，c的值；

利用勾股定理的逆定理，判断△ABC的形状，即可得到答案.

∵，

根据绝对值、偶次方的非负性质，

∴c=13，b=12，a=5，

∵52+122=132，

∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．

B．

本题考查勾股定理的逆定理，绝对值、偶次方的性质，掌握勾股定理的逆定理，绝对值、偶次方的非负性质是解题的关键.

13．B

因为a、b、c为一个三角形的三边长，化简，可得a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形为直角三角形．

∴a2+b2=c2，

∴该三角形为直角三角形.

故选B.

本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理.

14．15

延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形，即△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD的面积．

延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，

∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

在△ABD和△CED中，

∴△ABD≌△CED（SAS），

∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，

∵AE=2AD=12，CE=5，AC