北京市第四中学高考数学总复习计数原理排列组合知识讲解Word文档格式.docx

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在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×

n种不同的方法。

如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。

解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取。

3．两个计数原理的综合应用

（1）在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同应用计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成的，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求。

另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定。

解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分类的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步。

（2）对于复杂问题，只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理不能解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某步中再分类。

要点二、排列与组合基础知识

1.定义、公式

排列与排列数

组合与组合数

定义

1．排列：

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2．排列数：

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。

1．组合：

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

2．组合数：

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

公式

排列数公式

组合数公式

性质

（1）

（2）

备注

区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题。

2.排列数、组合数计算

（1）排列数公式：

右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数。

公式主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证；

（2）组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，与排列数公式的应用一样，前者多用于数字计算，后者多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证。

还应注意组合数公式的逆用，即由写出。

在排列数、组合数计算过程要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解。

要点三、排列应用题

求排列应用题的主要方法有：

（1）直接法：

把符合条件的排列数直接列式计算；

（2）特殊元素（或位置）优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；

（3）排列、组合混合问题先选后排的方法；

（4）相邻问题捆绑处理的方法。

即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；

（5）不相邻问题插空处理的方法。

即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；

（6）分排问题直排处理的方法；

（7）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；

（8）定序问题除法处理的方法。

即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列；

（9）正难则反，等价转化的方法。

要点四、组合应用题

组合问题常有以下两类题型变化：

（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：

“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；

“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取。

（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：

解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解。

用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。

要点五、排列、组合应用题

1.排列、组合问题几大解题方法：

①直接法.

②排除法.

③捆绑法：

在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.

④插空法：

先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.

⑤占位法：

从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；

从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.

⑥调序法：

当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：

先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.

⑦平均法：

若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有.

⑧隔板法：

常用于解正整数解组数的问题.

例如：

的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然，故（）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图

所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板的方法数.

注意：

若为非负数解的x个数，即用中等于，有，进而转化为求a的正整数解的个数为.

2.解排列组合的应用题要注意以下几点：

（1）仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；

要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；

（2）深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑；

（3）对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决；

（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同。

在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复。

（5）排列组合综合题目，一般是符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列。

其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准。

【典型例题】

类型一、分类计数原理

【例1】某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（）

A.5　　　　B.6　　C.7D.8

【思路点拨】采用列举法分类讨论。

【解析】买软件3个和元件买2个共需要320元，还剩180元可以自由支配。

下面考虑这180元的使用：

1类：

只再买0个软件，剩下的180元可以不买元件或买1个元件或买2个元件，共3种方法；

2类：

只再买1个软件，剩下的120元可以不买元件或买1个元件，共2种方法；

3类：

只再买2个软件，剩下的60元不可以买元件，共1种方法；

4类：

只再买3个软件，剩下的0元不可以买元件，共1种方法；

故不同的方法共有2+1+1+3=7种。

【总结升华】选择恰当的分类标准，作到不重不漏。

本题也可以用线形规划的整数解的方法解决。

举一反三：

【变式1】在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?

【答案】按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，

在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个.

则共有1+2+3+4+…+7+8=36（个）.

【变式2】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。

【答案】条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。

第一类：

A在第一垄，B有3种选择；

第二类：

A在第二垄，B有2种选择；

第三类：

A在第三垄，B有一种选择；

同理A、B位置互换，共12种。

类型二、分步计数原理

【例2】某体育彩票规定：

从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2无。

某人想先选定吉利号18，然后从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注。

若这个人要把符合这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？

【思路点拨】本题中要完成选彩票这件事，必须把1到17中的3个连续号，19到29中的2个连续号，30到36中的1个号都选出才算完成这件事，所以完成这件事可分三步，用分步乘法计数原理解决。

【解析】第1步：

从01到17中选3个连续号有15种选法；

第2步：

从19到29中选2个连续号有10种选法；

第3步：

从30到36中选1个号有7种选法。

由分步乘法计数原理可知：

满足要求的注数共有15×

10×

7=1050注，故至少要花1050×

2=2100元。

【总结升华】解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，运用分步计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取。

【变式1】

（1）四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？

（2）四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种？

【解析】

（1）完成这件事分三步：

第一步确定第一项冠军的得主，可能是这四名运动员中的任一个，则有4种不同结果；

第二步确定第二项冠军的得主，也可能是这四名运动员中的任一个，也有4种不同结果；

第三步确定第三项冠军得主，也有4种不同结果.

则共有4×

4×

4=64种不同结果.

（2）完成这件事情分四步:

第一步让第一名运动员报一项比赛，他可以选择三项比赛中的任一种，则有3种不同的报名方法；

第二步让第二名运动填报，也有3种不同方法；

第三步，第四步分别让第3，第4名运动员报，结果都一样.

则共有3×

3×

3=81种不同结果.

【点评】弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这两个原理都是指完成一件事而言的.其区别在于：

（1）分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；

（2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事.

【变式2】从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+b