最新高三教案高考第一轮复习数学87圆锥曲线的综合问题2 精品Word文档下载推荐.docx

最新高三教案高考第一轮复习数学87圆锥曲线的综合问题2 精品Word文档下载推荐.docx

《最新高三教案高考第一轮复习数学87圆锥曲线的综合问题2 精品Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高三教案高考第一轮复习数学87圆锥曲线的综合问题2 精品Word文档下载推荐.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

B

2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是

A.椭圆B.AB所在直线

C.线段ABD.无轨迹

数形结合易知动点的轨迹是线段AB：

y=x，其中0≤x≤3.

C

3.若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为

A.1B.－1

C.－D.以上都不对

的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k（x－2）代入椭圆方程（4+k2）x2－4k2x+4k2－4=0.

令Δ=0，k=±

.

∴kmin=－.

4.（2005年春季上海，7）双曲线9x2－16y2=1的焦距是____________.

将双曲线方程化为标准方程得－=1.∴a2=，b2=，

c2=a2+b2=+=.

∴c=，2c=.

5.（2004年春季北京）若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为____________；

以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有____________个.

将直线mx+ny－3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得

（m2+n2）y2－6ny+9－3m2=0.

令Δ<

0得m2+n2<

3.

又m、n不同时为零，

∴0<

m2+n2<

由0<

3，可知|n|<

，|m|<

，

再由椭圆方程a=，b=可知公共点有2个.

0<

32

●典例剖析

【例1】（2005年春季北京，18）如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>

0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p>

0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.

（1）写出直线l的截距式方程；

（2）证明：

+=；

（3）当a=2p时，求∠MON的大小.

剖析：

易知直线l的方程为+=1，欲证+=，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得+=.由·

=0易得∠MON=90°

.亦可由kOM·

kON=－1求得∠MON=90°

（1）解：

直线l的截距式方程为+=1.①

由①及y2=2px消去x可得by2+2pay－2pab=0.②

点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根，故y1+y2=，y1y2=－2pa.

所以+===.

（3）解：

设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，

则k1=，k2=.

当a=2p时，由

（2）知，y1y2=－2pa=－4p2，

由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，

x1x2===4p2，

因此k1k2===－1.

所以OM⊥ON，即∠MON=90°

评述：

本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.

【例2】（2005年黄冈高三调研考题）已知椭圆C的方程为+=1（a>

b>

0），双曲线－=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.（如下图）

（1）当l1与l2夹角为60°

，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；

（2）当=λ时，求λ的最大值.

（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60°

易得=，由双曲线的距离为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b.

（2）由=λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程.将l与l2的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标.将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值.

解：

（1）∵双曲线的渐近线为y=±

x，两渐近线夹角为60°

又<

1，

∴∠POx=30°

，即=tan30°

=.

∴a=b.

又a2+b2=4，

∴a2=3，b2=1.

故椭圆C的方程为+y2=1.

（2）由已知l：

y=（x－c），与y=x解得P（，），

由=λ得A（，）.

将A点坐标代入椭圆方程得

（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2.

∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2.

∴λ2==－［（2－e2）+］+3≤3－2.

∴λ的最大值为－1.

本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用.解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想.本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题.

【例3】设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.

设椭圆方程为+=1，由e=知椭圆方程可化为x2+4y2=4b2，然后将距离转化为y的二次函数，二次函数中含有一个参数b，在判定距离有最大值的过程中，要讨论y=－是否在y的取值范围内，最后求出椭圆方程和P点坐标.

解法一：

设所求椭圆的直角坐标方程是+=1，其中a＞b＞0待定.

由e2===1－（）2可知===，即a=2b.

设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则d2=x2+（y－）2=a2（1－）+y2－3y+=4b2－3y2－3y+=－3（y+）2+4b2+3，其中－b≤y≤b.

如果b＜，则当y=－b时d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=（b+）2，由此得b=－＞，与b＜矛盾.

因此必有b≥成立，于是当y=－时d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=4b2+3，由此可得b=1，a=2.

故所求椭圆的直角坐标方程是+y2=1.

由y=－及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－，－），点（，－）到点P的距离都是.

解法二：

根据题设条件，设椭圆的参数方程是

其中a＞b＞0待定，0≤θ＜2π，

x=acosθ，

y=bsinθ，

∵e=，

∴a=2b.

设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则

d2=x2+（y－）2=a2cos2θ+（bsinθ－）2=－3b2·

（sinθ+）2+4b2+3.

如果＞1，即b＜，则当sinθ=－1时，d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=（b+）2，由此得b=－＞，与b＜矛盾.

因此必有≤1成立，于是当sinθ=－时，d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=4b2+3.

由此得b=1，a=2.所以椭圆参数方程为

x=2cosθ，

y=sinθ.

消去参数得+y2=1，由sinθ=，cosθ=±

知椭圆上的点（－，－），（，－）到P点的距离都是.

本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论.

深化拓展

根据图形的几何性质，以P为圆心，以为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P的距离为，此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试.

提示：

由

x2+（y－）2=7，

x2+4y2=4b2，

得3y2+3y－=4b2－7，

由Δ=0得b2=1，

即椭圆方程为x2+4y2=4.

所求点为（－，－）、（，－）.

●闯关训练

夯实基础

1.（2005年北京东城区目标检测）以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为

A.B.

C.D.

建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e=.

D

2.已知F1（－3，0）、F2（3，0）是椭圆+＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，当∠F1PF2＝时，△F1PF2的面积最大，则有

A.m=12，n=3B.m=24，n=6

C.m=6，n=D.m=12，n=6

由条件求出椭圆方程即得m=12，n=3.

A

3.（2005年启东市第二次调研）设P1（，）、P2（－，－），M是双曲线y=上位于第一象限的点，对于命题①|MP2|－|MP1|=2；

②以线段MP1为直径的圆与圆x2+y2=2相切；

③存在常数b，使得M到直线y=－x+b的距离等于|MP1|.其中所有正确命题的序号是____________.

由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP1|可知正确.

①②③

4.（2004年全国Ⅱ，15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.

双曲线中，a==b，∴F（±

1，0），e==.∴椭圆的焦点为（±

1，0），离心率为.∴长半轴长为，短半轴长为1.

∴方程为+y2=1.

+y2=1

5.

（1）试讨论方程（1－k）x2+（3－k2）y2=4（k∈R）所表示的曲线；

（2）试给出方程+=1表示双曲线的充要条件.

（1）3－k2>

1－k>

0k∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆；

1－k>

3－k2>

0k∈（－，－1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；

1－k=3－k2>

0k=－1，表示的是一个圆；

（1－k）（3－k2）<

0k∈（－∞，－）∪（1，），表示的是双曲线；

k=1，k=－，表示的是两条平行直线；

k=，表示的图形不存在.

（2）由（k2+k－6）（6k2－k－1）<

0（k+3）（k－2）（3k+1）（2k－1）<

0k∈（－3，－）∪（，2）.

6.（2018年湖北八市模拟题）已知抛物线y2=2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.

（1）求证：

点A、B关于x轴对称；

（2）求△AOB外接圆的方程.

（1）证明：

设A（x1，y1）、B（x2，y2），

∵|OA|=|OB|，∴x12+y12=x22+y22.

又∵y12=2px1，y22=2px2，

∴x22－x12+2p（x2－x1）=0，

即（x2－x1）（x1+x2+2p）=0.

又∵x1、x2与p同号，∴x1+x2+2p≠0.

∴x2－x1=0，即x1=x2.

由抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称.

（2）解：

由

（1）知∠AOx=30°

，则

∴

y2=2p