共点、共线、共面问题教师版Word格式.doc

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∴l1，l2，l3交于一点．

2．如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：

EH、FG、BD三线共点．

【证明】　∵E∈AB，H∈AD，

∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.

∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.

同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD，∴O∈BD，EH、FG、BD三线共点．

3、已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝＝，求证：

直线FE，GH，AC交于一点．

∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴EH∥BD.又∵＝＝，∴FG∥BD，

∴EH∥FG，且EH≠FG，故四边形EFGH是梯形，∴EF，HG相交．

设EF∩HG＝K，∵K∈EF，EF⊂平面ABC，∴K∈平面ABC，同理K∈平面ACD.

又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴K∈AC，故直线FE，GH，AC交于一点．

【问题二】共线问题

寻找一条特殊线，证明所有点在这条直线上或两点确定一条直线，然后证明其它点在这条直线上

3、已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：

P、Q、R三点共线.

如图，∵A、B、C是不在同一直线上的三点,

∴过A、B、C有一个平面β.又∵AB∩α=P，且ABβ,

∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l,

同理可证：

Q∈l,R∈l,∴P、Q、R三点共线.

4．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD（或延长线）分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：

E，F，G，H必在同一直线上．

因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上

【问题三】四点共面问题

基本思路：

①证明四个点在两条平行线上②证明四个点在两条相交线上

③证明三个点共线④三个不共线的点确定一个平面，证明第四个点在这个平面内

5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：

E，C，D1，F四点共面．

延长D1F，设D1F∩DA＝O，延长CE，设CE∩DA＝O1.

∵F为AA1的中点，∴OA＝AD.

同理O1A＝AD，∴O与O1重合，∴D1F∩CE＝O，

∴E，C，D1，F四点共面．

【问题四】直线共面问题

两条直线确定一个平面，然后证明其它直线在这个平面内

6、如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：

直线l1，l2，l3在同一平面内．

∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一平面α，

又l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，∴B∈l2，C∈l1，

∴B∈α，C∈α，∴l3⊂α，∴直线l1，l2，l3在同一平面内．

7．已知直线b∥c，且直线a与直线b，c都相交，求证：

直线a，b，c共面．

∵b∥c，∴直线b，c可以确定一个平面α.设a∩b＝A，a∩c＝B，

则A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，即a⊂α，故直线a，b，c共面．

8、求证：

两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.（注意分两类）

如图，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,

∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,bα.

∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.

而B、F∈c，C、E∈d,∴c、dα,即a、b、c、d在同一平面内.

9、直线AB，CD，EF两两平行，且分别与直线l相交于A，C，E，求证：

AB，CD，EF三条直线在同一个平面内.

A

C

D

E

F

l

α

B

【问题五】综合问题

10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．

求证：

（1）C1、O、M三点共线；

（2）E、C、D1、F四点共面；

（3）CE、D1F、DA三线共点．

（1）∵C1、O、M∈平面BDC1，

又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，

∴C1、O、M三点共线．

（2）∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．

∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．

∴E、C、D1、F四点共面．

（3）由

（2）可知：

四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝A1B．

∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．

∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．

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