1、l1,l2,l3交于一点2如图,E、F、G、H分别是空间四边形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点,且直线EH与直线FG交于点O.求证:EH、FG、BD三线共点【证明】EAB,HAD,E平面ABD,H平面ABD.EH平面ABD.EHFGO,O平面ABD.同理O平面BCD,即O平面ABD平面BCD,OBD,EH、FG、BD三线共点3、已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且,求证:直线FE,GH,AC交于一点E,H分别是边AB,AD的中点,EHBD.又,FGBD,EHFG,且EHFG,故四边形EFGH是梯形,EF,HG相交设EFHGK,
2、KEF,EF平面ABC,K平面ABC,同理K平面ACD.又平面ABC平面ACDAC,KAC,故直线FE,GH,AC交于一点【问题二】共线问题寻找一条特殊线,证明所有点在这条直线上或两点确定一条直线,然后证明其它点在这条直线上3、已知ABC三边所在直线分别与平面交于P、Q、R三点,求证:P、Q、R三点共线.如图,A、B、C是不在同一直线上的三点,过A、B、C有一个平面.又AB=P,且AB,点P既在内又在内.设=l,则Pl,同理可证:Ql,Rl,P、Q、R三点共线.4如图所示,四边形ABCD中,已知ABCD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别与平面相交于E,F,G,H,求证:E,F,G,H必在
3、同一直线上因为ABCD,所以AB,CD确定平面AC,ADH,因为H平面AC,H,由公理3可知,H必在平面AC与平面的交线上同理F、G、E都在平面AC与平面的交线上,因此E,F,G,H必在同一直线上【问题三】四点共面问题 基本思路: 证明四个点在两条平行线上 证明四个点在两条相交线上 证明三个点共线 三个不共线的点确定一个平面,证明第四个点在这个平面内5.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点求证:E,C,D1,F四点共面延长D1F,设D1FDAO,延长CE,设CEDAO1.F为AA1的中点,OAAD.同理O1AAD,O与O1重合,D1FCEO,E,C,D1,
4、F四点共面【问题四】直线共面问题两条直线确定一个平面,然后证明其它直线在这个平面内6、如图所示,l1l2A,l2l3B,l1l3C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内l1l2A,l1,l2确定一平面,又l2l3B,l1l3C,Bl2,Cl1,B,C,l3,直线l1,l2,l3在同一平面内7已知直线bc,且直线a与直线b,c都相交,求证:直线a,b,c共面bc,直线b,c可以确定一个平面.设abA,acB,则Aa,Ba,A,B,即a,故直线a,b,c共面8、求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.(注意分两类)如图,直线a、b、c、d两两相交,交点分别为A、B、C、D、E、F,直线a直
5、线b=A,直线a和直线b确定平面设为,即a,b.B、Ca,E、Fb,B、C、E、F.而B、Fc,C、Ed,c、d,即a、b、c、d在同一平面内.9、直线AB,CD,EF两两平行,且分别与直线l相交于A,C,E,求证:AB,CD,EF三条直线在同一个平面内.ACDEFlB【问题五】综合问题10如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC、BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点求证:(1)C1、O、M三点共线;(2)E、C、D1、F四点共面;(3)CE、D1F、DA三线共点(1)C1、O、M平面BDC1,又C1、O、M平面A1ACC1,由公理3知,点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上,C1、O、M三点共线(2)E,F分别是AB,A1A的中点,EFA1BA1BCD1,EFCD1E、C、D1、F四点共面(3)由(2)可知:四点E、C、D1、F共面又EFA1BD1F,CE为相交直线,记交点为P则PD1F平面ADD1A1,PCE平面ADCBP平面ADD1A1平面ADCBADCE、D1F、DA三线共点3
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