届山东省临沂市蒙阴县实验中学高三上学期第二次月考数学文试题Word下载.docx
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D.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题
7.设a=20.3,b=0.32,c=logx(x2+0.3)(x>1),则a,b,c的大小关系是( )
A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a
8.已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x﹣1)对任意的x∈[﹣1,0]恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.[﹣3,1]B.[﹣4,2]
C.(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞)D.(﹣∞,﹣4)∪[2,+∞)
9.一个陀螺模型的三视图如图所示,则其表面积是( )
A.B.C.6πD.
10.若不等式组所表示的平面区域存在点(x0,y0)使ax0+y0+2≤0成立,则实数a的取值范围是( )
A.a≤1B.a≤﹣1C.a≥1D.a≥﹣1
11.函数在上的图象为( )
A.B.
C.D.
12.设A,B为双曲线同一条渐近线上的两个不同的点,若向量,且,则双曲线的离心率为( )
A.2或B.3或C.D.3
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.设函数f(x)=,则函数f(log26)的值为 .
14.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称,若sinα=,则cos(α+β)= .
15.已知在平面直角坐标系中,曲线f(x)=alnx+x在x=a处的切线过原点,则a=
16.设等差数列{an}的前n项和为Sn,在数列{bn}中,bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n,且b1=6,b2=9,则的最小值为 .
三、解答题
17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.(Ⅰ)求cosB的值;
(Ⅱ)若a+c=1,求b的取值范围.
18.(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=AB,∠ABC=90°
,侧面A1ABB1⊥底面ABC.
(1)求证:
AB1⊥平面A1BC;
(2)若AC=5,BC=3,∠A1AB=60°
,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积.
19.(12分)在成绩统计中,我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差,班主任为了了解个别学生的偏科情况,对学生数学偏差x(单位:
分)与物理偏差y(单位:
分)之间的关系进行偏差分析,决定从全班40位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析,得到他们的两科成绩偏差数据如下:
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学偏差x
20
15
13
﹣5
﹣10
﹣18
物理偏差y
6.5
3.5
1.5
0.5
﹣0.5
﹣2.5
﹣3.5
(1)已知x与y之间具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;
(2)若这次考试该班数学平均分为120分,物理平均分为92分,试预测数学成绩126分的同学的物理成绩.
参考公式:
,,
参考数据:
,.
20.(12分)已知A(﹣2,0),B(2,0)为椭圆C的左、右顶点,F为其右焦点,P是椭圆C上异于A,B的动点,且△APB面积的最大值为2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程及离心率;
(Ⅱ)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D,当点P在椭圆上运动时,求证:
以BD为直径的圆与直线PF恒相切.
21.(12分)已知函数f(x)=﹣lnx,m,n∈R.
(1)若函数f(x)在(2,f
(2))处的切线与直线x﹣y=0平行,求实数n的值;
(2)试讨论函数f(x)在区间[1,+∞)上最大值;
(3)若n=1时,函数f(x)恰有两个零点x1,x2(0<x1<x2),求证:
x1+x2>2.
选考题:
22.(10分)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(φ为参数)以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的普通方程;
(2)直线l的极坐标方程是,射线与圆C的交点为O、P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
数学试卷(文科)答案
1.解:
由(1﹣i)z=i,得z=,
∴z的虚部为.故选:
B.
2.解:
平面向量=(1,﹣3),=(4,﹣2),
∴λ﹣=(λ﹣4,﹣3λ+2),
又λ﹣与垂直,
∴(λ﹣)•=0,
∴(λ﹣4)﹣3(﹣3λ+2)=0,解得λ=1.故选:
D.
3.解:
∵集合A={x|log2x<2}={x|0<x<4},
B={x|x2﹣2x﹣3>0}={x|x<﹣1或x>3},
∴A∩B={x|3<x<4}=(3,4).故选:
4.解:
对于一组数据1,2,3,4,5,
平均数=(1+2+3+4+5)=3,
方差S2=[(1﹣3)2+(2﹣3)2+(3﹣3)2+(4﹣3)2+(5﹣3)2]=2,
将它们改变为11,12,13,14,15,
平均数变为:
10+=13,
方差没变,还是2.故选:
5.解:
由程序框图可知:
当a=96,b=36时,满足a>b,则a=96﹣36=60,i=1
由a>b,则a=60﹣36=24,i=2
由a<b,则b=36﹣24=12,i=3
由a>b,则a=24﹣12=12,i=4
由a=b=12,输出i=4.故选:
A.
6.解:
对于A:
命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:
“若x2=1,则x≠1”.因为否命题应为“若x2≠1,则x≠1”,故错误.
对于B:
“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件.因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0,应为充分条件,故错误.
对于C:
命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:
“∀x∈R,均有x2+x+1<0”.
因为命题的否定应为∀x∈R,均有x2+x+1≥0.故错误.
由排除法得到D正确.故选:
7.解:
∵a=20.3<21=2且a=20.3>20=1,
∴1<a<2,
又∵b=0.32<0.30=1,
∵x>1,∴c=logx(x2+0.3)>logxx2=2,
∴c>a>b.故选:
8.解:
根据题意,f(x+1)是偶函数,则f(﹣x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,
又由函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,
由f(m+2)≥f(x﹣1)可得|(m+2)﹣1|≤|(x﹣1)﹣1|,
即|m+1|≤|x﹣2|恒成立,
又由x∈[﹣1,0],则2≤|x﹣2|≤3,
则有:
|m+1|≤2,
解可得﹣3≤m≤1;
即m的取值范围为[﹣3,1];
故选:
9.解:
几何体上部分为圆柱,下部分为圆锥,
其中圆柱的底面半径为1,高为2,圆锥的底面半径为1,高为1,
故圆锥的母线长为,
所以几何体的表面积S=π×
12+2π×
2+π×
1×
=(5+)π.故选:
10.解:
由题意作平面区域如下,
,
易知直线ax+y+2=0恒过点C(0,﹣2),
化简可得y=﹣ax﹣2,
结合图象可求得B(5,3),
故直线BC的斜率k==1,
故﹣a≥1,
故a≤﹣1,
11.解:
函数的解析式满足f(﹣x)=﹣f(x),则函数为奇函数,排除C、D选项,
由可知:
|f(x)|≤1,排除A选项.
12.解:
∵,则在y轴上的射影长为﹣1
而|AB|=3,因此A、B点所在的渐近线与y轴的夹角的余弦值为,正切值为2.
∴渐近线的斜率k=,
故当λ>0时.,e=.
当λ<0时,,e=.
13.解:
∵函数f(x)=,
∴函数f(log26)=f(log26+1)=
=6×
2=12.故答案为:
12.
14.解:
∵角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称,且sinα=,
∴sinβ=,
若α为第一象限角,则cosα=,cosβ=,
此时cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ=;
若α为第二象限角,则cosα=﹣,cosβ=,
此时cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ=.
∴cos(α+β)=.
故答案为:
.
15.解:
根据题意,f(x)=alnx+x,则f(a)=alna+a,
又由f(x)=alnx+x,则f′(x)=+1,则有f′(a)=+1=2,
则曲线f(x)=alnx+x在x=a处的切线为y﹣(alna+a)=2(x﹣a),
又由曲线f(x)=alnx+x在x=a处的切线过原点,
则有﹣alna﹣a=﹣2a,解得a=e.故答案为:
e.
16.解:
设等差数列{an}的公差为d,
∵bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n,
∴b1=a1+a2+a3=6,b2=a4+a5+a6=9,
∴b2﹣b1=3d+3d+3d=9﹣6,解得d=,
∴a1+a1++a1+=6,解得a1=,
∴Sn=na1+d=n+n(n﹣1)=,
∴bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=+(3n﹣2﹣1)×
++(3n﹣1﹣1)×
++(3n﹣1)×
=3n+3=3(n+1),
∴====(n++10)
≥(10+2)=8,当且仅当n=3时取等号,
三、17.解:
(Ⅰ)由已知得,
即有,
因为sinA≠0,
∴.
又cosB≠0,
又0<B<π,
∴,
(Ⅱ)由余弦定理,有b2=a2+c2﹣2acosB.
因为,
有.
又0<a<1,
于是有,即有.
18.
(1)证明:
∵在平行四边形AA1B1B中,AA1=AB,
∴四边形A1ABB1是菱形,
∴AB1⊥A1B,
∵平面A1ABB1⊥平面ABC,
平面A1ABB1∩平面ABC=AB,AB⊥BC,
∴BC⊥平面ABB1A1,又AB1⊂平面ABB1A1,
∴BC⊥AB1,又A1B∩BC=B,
∴AB1⊥平面A1BC.
(2)解:
在Rt△ABC中,∵BC=3,AC=5,∴AB=4.
又AA1=AB=4,∠A1AB=60°
∴△