湖南届高中毕业班联考二文档格式.docx
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11．已知数列是等差数列，前项和为，满足，给出下列结论：
①；
②最小；
③；
④.其中一定正确的结论是（）
A．①②B．①③④C．①③④D．①②④
12．已知双曲线的焦距为，若，则此双曲线焦距的最小值为（）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13.欧阳修《卖油翁》中写道：
（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，
而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为的圆，中间有
边长为的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔
中的概率为.
14.双曲线的两条渐近线为，则它的离心率为.
15.已知函数，若为函
数的一个零点，则.
16.设定义域为的单调函数，对任意，都有，若是
方程的一个解，且，则实数.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
17.（本小题满分12分）
某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
70
30
100
⑴根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差
异”；
⑵已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机
抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
附：
，
18.（本小题满分12分）
已知数列中，，.
写出、的值（只写结果），并求出数列的通项公式；
设，若对任意的正整数，不等式恒成立，
求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
如图5所示，已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，
，为的中点.
指出平面与的交点所在位置，并给出理由；
求平面将四棱锥分成上下两部分的体积比.
20.（本小题满分12分）
如图6所示，已知椭圆：
的离心率为，、是椭圆的两个焦点，
是椭圆上任意一点，且的周长是.
⑴求椭圆的方程；
设圆：
，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于、两点，当圆心在
轴上移动且时，求直线的斜率的取值范围.
21.（本大题满分12分）
已知函数.
⑴求函数的单调区间；
⑵如果对于任意的,恒成立，求实数的取值范围；
⑶设函数，.过点作函数的图象
的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和的值.
请考生在第22、23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为
，直线的参数方程为，（为参数）.
⑴求直线与曲线的直角坐标方程；
⑵设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的
最大值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数，.
⑴当时，解不等式；
⑵若存在，使得成立，求实数的取值范围.
数学（文科）参考答案及评分标准
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
12
答案
A
B
C
D
13.解：
.
14.或解：
或2，或.
15.解：
，
，，
16.1解：
为单调函数，且对，都有知必为
常数，令，则，且，所以.
，，又因为是方程的一个解
，整理得，即
令，，
由零点存在性定理知，，.
17.解:
所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.…6分
⑵从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件共10个：
，，，，，，，
，，其中表示喜欢甜品的学生，表示不喜欢
甜品的学生，且这些基本事件的出现是等可能的.
用表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则事件由7个基本事件组成：
，，，，，，
.…………12分
18.解：
，…………2分
当时，
…………5分
当时，也满足上式
…………6分
………8分
，则数列是单调递减数列
…………10分
或
…………12分
19.解:
为中点.…………2分
理由如下：
，平面，平面
平面
又平面，平面平面
又为的中点
为的中点…………6分
底面，
又底面为矩形，
平面，又平面
是的中位线，且
，又
点到截面的距离为到直线的距离
四棱锥的体积…………8分
而四棱锥的体积
四棱锥被截下部分体积…………10分
故上、下两部分体积比.…………12分
20.解:
，
又的周长为
则所求椭圆方程为：
…………5分
由椭圆方程可得，设过且与圆相切的直线方程为
两条切线斜率是方程的两根
，同理可得：
设，可知在上为增函数
…………12分
21.解：
：
⑴
的增区间为；
减区间为.……4分
⑵令
要使恒成立，只需当时，
令，则对恒成立
在上是增函数，则
①当时，恒成立，在上为增函数
，满足题意；
②当时，在上有实根,在上是增函数
则当时，，不符合题意；
③当时，恒成立，在上为减函数，
不符合题意
，即.……8分
⑶
设切点坐标为，则切线斜率为
从而切线方程为
令，，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点的横
坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于
成对出现，又在共有1008对，每对和为.
.……12分
22.解：
⑴直线的方程为：
曲线的直角坐标方程为：
……5分
⑵，，代入得：
设椭圆的参数方程为，（为参数，）
得最大值为4.……10分
23.解：
⑴当时，
或
∴原不等式的解集为……5分
⑵
令，故
故所求实数的范围为……10分
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