概率论与数理统计 第一章77424Word文件下载.docx

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３）基本事件：

样本空间的仅包含一个样本点的单点子集也是一种随机事件，这种事件称为基本事件。

４）必然事件（）：

样本空间包含所有的样本点，它是自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件，必然事件仍记为。

５）不可能事件（）：

空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。

2.随机事件的关系

１）事件的包含与相等

设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或称事件

A包含在事件B中，记作，。

显然有：

。

若且，则称A与B相等，记作。

２）和事件

称事件“A，B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，也称A与B的并，

记作或。

发生意味着：

或事件A发生，或事件B发生，或事件A

和事件B都发生。

，；

若，则。

３）积事件

称事件“A，B同时发生”为事件A与事件B的积事件，也称A与B的交，记作，

简记为。

事件发生意味着事件A发生且事件B也发生，也就是说A，B都发

生。

４）差事件

称事件“A发生而B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作。

；

５）互不相容

若事件A与事件B不能同时发生，即，则称事件A与事件B是互不相容的两

个事件，简称A与B互不相容（或互斥）。

对于n个事件,,,，如果它们两

两之间互不相容，即，则称,,,互不相容。

６）对立事件

称事件“A不发生”为事件A的对立事件（或余事件，或逆事件），记作。

若事件A与事件B中至少有一个发生，且A与B互不相容，即，，

则称A与B互为对立事件。

。

注意：

若A与B为对立事件，则A与B互不相容，但反过来不一定成立。

3.事件的运算

设A，B，C为事件，则有

交换律：

，。

结合律：

分配律：

对偶律：

1.2概率

1.频率

１）频率：

在相同条件下进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数，比值称为事件A发生的频率，记作。

２）频率的基本性质：

；

，；

若A与B互不相容，则。

这个性质可以推广：

当,,,互不相容时，，其中是正整数，当,,,，互不相容时，。

2.概率

１）概率：

设是随机试验E的样本空间，对于E的每个事件A赋予一个实数，记为，称为事件A的概率，如果它满足下列条件：

设,,,，是一列互不相容的事件，则有。

２）概率的基本性质：

，，；

对于任意事件A，B有；

特别地，当A与B互不相容时，。

推广：

对于任意事件A，B，C有

当,,,互不相容时，

，其中为正整数。

特别地，当时，，且。

3.古典概型

１）古典概型：

具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：

基本事件的总数是有限的，换句话说样本空间仅含有有限个样本点；

每个基本事件发生的可能性相同。

２）古典概型事件概率的计算公式

设为随机试验E的样本空间，其中所含样本点总数为，A为一随机事件，其中所

含样本点数为，则有，

也即

1.3条件概率

1.条件概率与乘法公式

１）条件概率：

在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为在事件B发生的条件下事件A的条件概率，记作。

设A，B是两个事件，且，称为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率。

２）概率的乘法公式

当时，有，

当时，有。

乘法公式还可以推广到个事件的情况：

设，则；

设，则

2.全概率公式与贝叶斯公式

１）设事件，，，满足如下两个条件：

，，，互不相容，且，；

，即，，，至少有一个发生，则称，，，为样本空间的一个划分。

当，，，是的一个划分时，每次试验有且只有其中的一个事件发生

２）全概率公式

设随机试验对应的样本空间为，设，，，为样本空间的一个划分，B是任意一个事件，则。

３）贝叶斯公式

设，，，为样本空间的一个划分，B是任意一个事件，且，则

1.4事件的独立性

1.事件的独立性

１）事件的独立性：

若，则称A与B相互独立，简称A，B独立。

２）事件独立性的性质：

设，则A与B相互独立的充分必要条件是；

设，则A与B相互独立的充分必要条件是。

若A与B相互独立，则A与，与B，与都相互独立。

３）设A，B，C为3个事件，若满足

，，

则称A，B，C两两独立。

设A，B，C为3个事件，若满足

，，，

则称A，B，C相互独立，简称A，B，C独立。

A，B，C独立必有A，B，C两两独立，但反之不然。

４）个事件，，，的独立性

设，，，为个事件，若对于任意整数和任意个整数，有，

则称，，，相互独立，简称，，，独立。

1.重贝努利试验

１）重贝努利试验

试验只有两个结果，而且已知，，将试验独立重复进行次，则称为重贝努利试验。

２）贝努利概型

在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生次的概率。

Ⅱ例题分析

1.1节

1、设A与B是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（）

A．P（A）=1-P（B）B．P（A-B）=P（B）

C．P（AB）=P（A）P（B）D．P（A-B）=P（A）

答案：

D

【解析】本题考查了两个随机事件的关系。

A与B互不相容，即

，

而A选项，则是A、B互为对立事件，，则是A、B互相独立。

故选D.

3.设A，B为两个随机事件，若A发生必然导致B发生，且P（A）=0.6，则P（AB）=______．

答案：

0.6

【解析】由“若A发生必然导致B发生”，则

提醒：

要分清A、B之间的关系.

4．对于事件A，B，下列命题正确的是（）

A．如果A，B互不相容，则也互不相容

B．如果，则

C．如果，则

D．如果A，B对立，则也对立

【解析】本题考查了两个随机事件之间的关系。

对于事件之间的关系判断可用类似于集合之间的关系来处理。

对于Ａ答案，如果A，B互不相容，则，按集合来处理（画画图），不一定有成立，因此也不一定就是互不相容的；

对于Ｂ答案，如果，则（画图便知）；

Ｃ答案实质上与Ｂ答案相同；

对于Ｄ答案，如果A，B对立，则，显然也是对立的。

【提醒】注意互不相容和对立的关系：

互不相容不一定对立，对立一定是互不相容的。

还要注意互不相容与独立的关系（从定义式中发掘）。

总之要紧紧抓住概念的本质。

另外，请学员要牢记公式。

1.2节

1.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有一次出现正面的概率为（）。

A.B.

C.D.

C

【解析】：

2．设P（A）=0.4,P（B）=0.3,P（AB）=0.4，则P（）=___________。

0.1

【解析】：

重点考察概率计算公式：

3.己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______。

由题知：

样本空间为个，恰好取到一件次品为；

恰好取到一件次品的概率为.

【提醒】：

先找出样本空间总数，再找出事件发生的次数，两者一比，即。

4.设P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，则P（）=________.

本题考查了事件之间关系与运算中的概率公式和。

将已知条件代入公式和中即得答案。

【点评】：

是一个很重的公式，经常与独立性和互不相容等概念结合起来考查学员们。

5.袋中有5个黑球，3个白球，从中任取的4个球中恰有3个白球的概率为________.

1/14

本题考查古典概型中概率的求法。

所求的概率为。

要注意排列组合中的加法原理和乘法原理，分部和分类的思想。

6．袋中有5个红球，3个白球，2个黑球，现从中任取3个球，其恰为一红一白一黑的概率为（）

A．B．

C.D．

A

【解析】考查了古典概型中概率的计算。

1.3节

1.设A，B为两事件，已知P（A）=，P（A|B）=，，则P（B）=（）。

解析：

本题重点考察一个公式：

这是一个相当相当关键的公式，一定要牢记。

解得：

2.飞机在雨天晚点的概率为0.8，在晴天晚点的概率为0.2，天气预报称明天有雨的概率为0.4，试求明天飞机晚点的概率.

解：

设A={明天有雨}，B={飞机正点），

则所求概率为

=0.4×

0.8+0.6×

0.2=0.44．

即明天飞机晚点的概率为0.44.

4．设A、B为两件事件，已知，则有（）。

A．B．

C．D．

利用条件概率的定义：

因为，在事件A发生的条件下，要么事件B发生，要么发生，所以选项C正确，也可以利用乘法公式进行推导。

若事件A与事件B是对立事件，即,则选项D正确。

若事件A与事件B相互独立，则也相互独立，则选项A正确。

5．设一批产品中有95％的合格品，且在合格品中一等品的占有率为60％．

求：

（1）从该批产品中任取1件，其为一等品的概率；

（2）在取出的1件产品不是一等品的条件下，其为不合格品的概率．

（1）设事件表示“从该批产品中任取一件为合格品”，

表示“从该批产品中任取一件为一等品”．

则，

（2），

因，故，从而

6.100张彩票中有7张有奖,现有甲先乙后各买了一张彩票,试用计算说明甲、乙两人中奖中概率是否相同。

【解析】本题考查了全概率公式。

设A表示“甲摸到彩票”，B表示“乙摸到彩票”。

则

，,而，所以

故甲、乙两人中奖概率相同。

【提醒】若本题变为“100张彩票中有1张有奖,现有甲先乙后各买了一张彩票,试用计算说明甲、乙两人中奖中概率是否相同”，用同样的方法推出中奖概率是相同的。

另外，即使是多张奖券，概率也是一样的。

1.4节

1.设，则由事件A，B相互独立，可推出（）。

C．D．

B

考查的是独立性的定义和性质。

2.设A，B为两件事，已知，若事件A，B相互独立，则P（B）=.

本题考查的是事件独立性的定义以及和事件的概率计算公式。

若A与B相互独立，则有

和事件的概率公式

3.设随机事件A与B相互独立，且P（A）=P（B）=，则P（A）=_________