概率论与数理统计 第一章77424Word文件下载.docx

1、）基本事件：样本空间的仅包含一个样本点的单点子集也是一种随机事件，这种事件称为基本事件。）必然事件（）：样本空间包含所有的样本点，它是自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件，必然事件仍记为。）不可能事件（）：空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。2. 随机事件的关系 ）事件的包含与相等设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含在事件B中，记作，。显然有：。若且，则称A与B相等，记作。）和事件称事件“A，B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，也称A与B的并，记作或。发生意味着：或事件A发生，或事

2、件B发生，或事件A和事件B都发生。 ，；若，则。）积事件称事件“A，B同时发生”为事件A与事件B的积事件，也称A与B的交，记作，简记为。事件发生意味着事件A发生且事件B也发生，也就是说A，B都发生。）差事件称事件“A发生而B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作。 ；）互不相容若事件A与事件B不能同时发生，即，则称事件A与事件B是互不相容的两个事件，简称A与B互不相容（或互斥）。对于n个事件, , ,，如果它们两两之间互不相容，即，则称, , ,互不相容。）对立事件称事件“A不发生”为事件A的对立事件（或余事件，或逆事件），记作。若事件A与事件B中至少有一个发生，且A与B互不相容，即，则称A与

3、B互为对立事件。 。注意：若A与B为对立事件，则A与B互不相容，但反过来不一定成立。3. 事件的运算 设A，B，C为事件，则有 交换律：，。 结合律： 分配律： 对偶律：1.2 概率1. 频率 ）频率：在相同条件下进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数，比值称为事件A发生的频率，记作。）频率的基本性质：；，；若A与B互不相容，则。这个性质可以推广：当, , ,互不相容时，其中是正整数，当, , ,，互不相容时，。2. 概率）概率：设是随机试验E的样本空间，对于E的每个事件A赋予一个实数，记为，称为事件A的概率，如果它满足下列条件：设, , ,，是一列互不相容的事件

4、，则有。）概率的基本性质： ，； 对于任意事件A，B有；特别地，当A与B互不相容时，。推广：对于任意事件A，B，C有当, , ,互不相容时， ，其中为正整数。 特别地，当时，且。3. 古典概型 ）古典概型：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：基本事件的总数是有限的，换句话说样本空间仅含有有限个样本点；每个基本事件发生的可能性相同。）古典概型事件概率的计算公式 设为随机试验E的样本空间，其中所含样本点总数为，A为一随机事件，其中所 含样本点数为，则有， 也即 1.3 条件概率1. 条件概率与乘法公式）条件概率：在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为在事件B发生的条件下事

5、件A的条件概率，记作。设A，B是两个事件，且，称为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率。） 概率的乘法公式 当时，有，当时，有。乘法公式还可以推广到个事件的情况：设，则；设，则2. 全概率公式与贝叶斯公式）设事件，满足如下两个条件：，互不相容，且，；，即，至少有一个发生，则称，为样本空间的一个划分。当，是的一个划分时，每次试验有且只有其中的一个事件发生）全概率公式设随机试验对应的样本空间为，设，为样本空间的一个划分，B是任意一个事件，则。）贝叶斯公式设，为样本空间的一个划分，B是任意一个事件，且，则1.4 事件的独立性1. 事件的独立性）事件的独立性：若，则称A与B相互独立，简称A，B独立。

6、）事件独立性的性质：设，则A与B相互独立的充分必要条件是； 设，则A与B相互独立的充分必要条件是。若A与B相互独立，则A与，与B，与都相互独立。）设A，B，C为3个事件，若满足， 则称A，B，C两两独立。设A，B，C为3个事件，若满足， 则称A，B，C相互独立，简称A，B，C独立。A，B，C独立必有A，B，C两两独立，但反之不然。）个事件，的独立性 设，为个事件，若对于任意整数和任意个整数，有，则称，相互独立，简称，独立。1.重贝努利试验 ）重贝努利试验 试验只有两个结果，而且已知，将试验独立重复进行次，则称为重贝努利试验。）贝努利概型在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰

7、好发生次的概率。 例题分析1.1节1、设A与B是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（ ） AP（A）=1-P（B） BP（A-B）=P（B） CP（AB）=P（A）P（B） DP（A-B）=P（A）答案： D【解析】本题考查了两个随机事件的关系。A与B互不相容，即，而A选项，则是A、B互为对立事件，则是A、B互相独立。故选D.3.设A，B为两个随机事件，若A发生必然导致B发生，且P （A）=0.6，则P （AB） =_ 答案：0.6【解析】由“若A发生必然导致B发生”，则提醒：要分清A、B之间的关系.4对于事件A，B，下列命题正确的是（ ）A如果A，B互不相容，则也互不相容B如果，则C

8、如果，则D如果A，B对立，则也对立【解析】本题考查了两个随机事件之间的关系。对于事件之间的关系判断可用类似于集合之间的关系来处理。对于答案，如果A，B互不相容，则，按集合来处理（画画图），不一定有成立，因此也不一定就是互不相容的；对于答案，如果，则（画图便知）；答案实质上与答案相同；对于答案，如果A，B对立，则，显然也是对立的。【提醒】注意互不相容和对立的关系：互不相容不一定对立，对立一定是互不相容的。还要注意互不相容与独立的关系（从定义式中发掘）。总之要紧紧抓住概念的本质。另外，请学员要牢记公式。1.2节1. 将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有一次出现正面的概率为（ ）。 A. B. C. D.

9、 C【解析】：2设P（A）=0.4,P（B）=0.3,P（AB）=0.4，则P（）=_。0.1 【解析】：重点考察概率计算公式： 3. 己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于_。由题知：样本空间为个，恰好取到一件次品为；恰好取到一件次品的概率为.【提醒】：先找出样本空间总数，再找出事件发生的次数，两者一比，即。4. 设P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，则P（）=_.本题考查了事件之间关系与运算中的概率公式和。将已知条件代入公式和中即得答案。【点评】：是一个很重的公式，经常与独立性和互不相容等概念结合起来考查学员们。5. 袋中有5个黑球，3个白球，从

10、中任取的4个球中恰有3个白球的概率为_. 1/14本题考查古典概型中概率的求法。所求的概率为。要注意排列组合中的加法原理和乘法原理，分部和分类的思想。6袋中有5个红球，3个白球，2个黑球，现从中任取3个球，其恰为一红一白一黑的概率为（ ）A B C. D A【解析】考查了古典概型中概率的计算。1.3节1. 设A，B为两事件，已知P（A）=，P（A|B）=，则P（B）=（ ）。解析：本题重点考察一个公式： 这是一个相当相当关键的公式，一定要牢记。 解得：2. 飞机在雨天晚点的概率为0.8，在晴天晚点的概率为0.2，天气预报称明天有雨的概率为0.4，试求明天飞机晚点的概率.解：设A=明天有雨，B=

11、飞机正点）， 则所求概率为 =0.40.8+0.60.2=0.44即明天飞机晚点的概率为0.44.4设A、B为两件事件，已知，则有（ ）。A B C D 利用条件概率的定义：因为，在事件A发生的条件下，要么事件B发生，要么发生，所以选项C 正确，也可以利用乘法公式进行推导。若事件A与事件B是对立事件，即,则选项D正确。若事件A与事件B相互独立，则也相互独立，则选项A正确。5设一批产品中有95的合格品，且在合格品中一等品的占有率为60求：（1）从该批产品中任取1件，其为一等品的概率；（2）在取出的1件产品不是一等品的条件下，其为不合格品的概率（1）设事件表示“从该批产品中任取一件为合格品”，表示

12、“从该批产品中任取一件为一等品”则， （2），因，故，从而6. 100张彩票中有7张有奖,现有甲先乙后各买了一张彩票,试用计算说明甲、乙两人中奖中概率是否相同。【解析】本题考查了全概率公式。设A表示“甲摸到彩票”，B表示“乙摸到彩票”。则，,而，所以故甲、乙两人中奖概率相同。【提醒】若本题变为“100张彩票中有1张有奖,现有甲先乙后各买了一张彩票,试用计算说明甲、乙两人中奖中概率是否相同”，用同样的方法推出中奖概率是相同的。另外，即使是多张奖券，概率也是一样的。1.4节1. 设，则由事件A，B相互独立，可推出（ ）。C D B考查的是独立性的定义和性质。2. 设A，B为两件事，已知，若事件A，B相互独立，则P（B）= .本题考查的是事件独立性的定义以及和事件的概率计算公式。若A与B相互独立，则有和事件的概率公式3. 设随机事件A与B相互独立，且P（A）=P（B）=，则P（A）=_